Lógica

Páginas: 5 (1122 palavras) Publicado: 16 de novembro de 2014
­­­­
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA
CURSO DE SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
LÓGICA PARA COMPUTAÇÃO


2ª LISTA DE EXERCÍCIOS - Extra


1. Dadas as expressões da Lógica Proposicional a seguir, encontre:
a) As expressões correspondentes na Lógica de Boole.
b) As expressões correspondentes na Teoria dos Conjuntos.
c) Asrepresentações em diagramas de Venn.

(p  q  r) → (p  q ↔ r)
a) (p  q  r)  (((p  q)  r)  ((p  q)  r))) = (p  q  r) = (p q  r)
b) p’.q’+ r’
c)



(p  q ↔ r)  (p→ q  r)
a) (((p  q)  r)  ((p  q)  r))  (p  q  r) = (p  q  r)
b) p’+ q. r
c)



2. Usando o Princípio de Indução Finita, mostre que as seguintes proposições são verdadeiras para todonúmero inteiro positivo n:
a) 12 + 32 + . . . + (2n-1) 2 = n (2n – 1) (2n + 1)/ 3
Condição básica A(1) ou seja, n = 1 temos 1² = 1(2.1 – 1)(2.1 + 1) /3  1 = 1
Suponha verdadeiro para A(n) e provemos para A(n+1), ou seja, A(n): 12 + 32 + . . . + (2n-1)2 = n (2n – 1) (2n + 1)/ 3 então A(n+1) : 12 + 32 + . . . + (2n-1)2 + (2n+1)2 = n (2n – 1) (2n + 1)/ 3 + (2n+1)² = (n(2n – 1) (2n + 1) +3(2n + 1) (2n + 1)) / 3 =
((2n² – n) (2n + 1) + (6n + 3) (2n + 1))/3 = (2n² - n + 6n + 3) (2n +1) /3 =
(2n² + 5n + 3) (2n +1) /3 = (n + 1) (2n + 1) (2n + 3)/3, Portanto é verdadeira.

b) 2 + 6 + 10 + . . . + (4n – 2) = 2n2
Condição básica A(1) ou seja, n = 1 temos 4.1- 2 = 2.1²  2 = 2
Suponha verdadeiro para A(n) e provemos para A(n+1), ou seja, A(n): 2 + 6 + 10 + . . . + (4n – 2) =2n2 então A(n+1): 2 + 6 + 10 + . . . + (4n – 2) + (4n + 2) = 2n2 + (4n + 2) = 2n2 + 4n + 2 = 2 (n² + 2n + 1) = 2(n + 1)² Portanto é verdadeiro

c) 4 + 10 + 16 + . . . + (6n – 2) = n(3n + 1)
Condição básica A(1) ou seja, n = 1 temos 6.1- 2 = 1.(3.1 + 1)  4 = 4
Suponha verdadeiro para A(n) e provemos para A(n+1), ou seja, A(n): 4 + 10 + 16 + . . . + (6n – 2) = n(3n + 1) então A(n+1): 4 + 10 +16 + . . . + (6n – 2) + (6n + 4) = n(3n + 1) + (6n + 4) = 3n2 + n + 6n + 4 = 3n² + 7n + 4 = (n + 1) (3(n + 1) + 1) Portanto é verdadeiro.

3. Justifique cada passo na sequência de demonstração a seguir, para a fbf (x)p(x)(x)(p(x) → q(x)) → (x)q(x)
1 (x)p(x) Premissa
2 (x)(p(x) → q(x)) Premissa
3 p(a) Em 1 (x)p(x), logo podemossubstituir por uma constante a em x.
4 p(a) → q(a) Em 2 a implicação vale (x), podemos substituir x pela constante a
5 q(a) Usando Modus Ponens entre 3 e 4
6 (x)q(x) Valendo para uma constante a em 5, podemos dizer que (x)

4. Prove que as fbfs a seguir são argumentos válidos:
a) (∀x)p(x) → (∀x)[p(x) ∨ q(x)]
1. ((∀x)p(x) →(∀x)[p(x) ∨ q(x)]) negação da fórmula
2. (∀x)p(x)  ((∀x)[p(x) ∨ q(x)]) negação da  em 1
3. (∀x)p(x) regra da conjunção R1 em 2
4. ((∀x)[p(x) ∨ q(x)]) regra da conjunção R1 em 2
5. (x) (p(x) ∨ q(x)) negação do ∀ em 4
6. p(a)substituição de x por uma constante a em 3
7. (p(a) ∨ q(a)) substituição de x por uma constante a em 4
8. (p(a)) Regra da negação da disjunção (De Morgan) em 7
9. (q(a)) Regra da negação da disjunção (De Morgan) em 7
Tableux fechado em 8, portanto o argumento éválido

b) (∀x)p(x) ∧ (x)q(x) → (x)[p(x) ∧ q(x)]
1. ((∀x)p(x) ∧ (x)q(x) → (x)[p(x) ∧ q(x)]) negação da fórmula
2. (∀x)p(x) ∧ (x)q(x)  ((x)[p(x) ∧ q(x)]) negação da  em 1
3. (∀x)p(x) regra da conjunção R1 em 2
4. (x)q(x) regra da conjunção R1 em 2
5. ((x)[p(x) ∧ q(x)])...
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