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Espaço Tridimensional – 3

Equação geral (ou cartesiana do plano ) ax + by + cz + d = 0, a2 + b2 + c2 0

Planos paralelos aos eixos coordenados

Planos paralelos aos planos coordenados

FAZER O EXERCÍCIO 1

SUPERFÍCIES ESFÉRICAS

Definição: Chama-se superfície esférica S de centro C e raio R ao conjunto de pontos P do espaço tais que a distância de P até C é igual a R.
Se as coordenadas de C forem (0,0,0) a equação reduzida (canônica) de S é:

x2 + y2 + z2 = R2

Se as coordenadas de C forem (a,b,c) a equação reduzida de S é:
(x–a)2 + (y–b)2 + (z–c)2 = R2 (1)

Desenvolvendo a equação (1), tem-se x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+a2+b2+c2 –R2=0, que é da forma x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 (2)

Um problema que surge é que: uma equação na forma (2) é sempre a equação de uma superfície esférica?
FAZER OS EXERCÍCIOS 2, 3 e 4

SUPERFÍCIES QUÁDRICAS (ou simplesmente QUÁDRICAS)
Vamos apresentar uma breve descrição das principais superfícies quádricas (3) que podem ser consideradas como a versão tridimensional das cônicas.
Embora a forma geral de uma curva no espaço bidimensional possa ser obtida plotando os pontos, este método não é geralmente útil para as superfícies no espaço tridimensional, pois requer demasiados pontos. Não faremos um estudo detalhado de tais superfícies, vamos a partir de suas equações reduzidas obter informações geométricas interessantes.
Chama-se quádrica, qualquer subconjunto S de 3, referido à base canônica, que possa ser descrito por uma equação de segundo grau: ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0, onde a,b,c,d,e e f não são todos nulos.

De modo mais geral, se S é uma superfície (isto é, o gráfico de uma equação em (x, y, z)), então o traço de S em um plano é a interseção de S com o plano. Para esboçar uma superfície utilizamos traços. São de especial importância os traços nos planos coordenados: o traço-xy, o traço-yz e o traço-xz. Às vezes, é