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O coeficiente binomial, também chamado de número binomial, de um número n, na classe k, consiste no número de combinações de n termos, k a k. O número binomial de um número n, na classe k, pode ser escrito como:

Para iniciar o estudo de números binomiais é necessário relembrar situações que envolvem produtos notáveis. Com base na expressão (x + y)n iremos calcular as expressões seguintes considerando n ≤ 3.

(x + y)0 = 1
(x + y)¹ = x + y
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x + y)³ = x³ +3x²y + 3xy² + y³

Podemos definir os coeficientes binomiais através da seguinte generalização:

com n Є N, m Є n e m ≤ n.
Termos complementares *
Neste, caso, e são chamados termos complementares. Por exemplo: *
Neste caso, 11 e 6 são termos complementares.
[editar]Relação de Stifel * De acordo com a relação de Stiffel:

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Binômio de Newton foi definido pelo físico e matemático Isaac Newton, esse estudo veio para complementar o estudo de produto notável.
Produto notável diz que um binômio elevado ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro monômio mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo monômio mais o quadrado do segundo monômio.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Essa forma só é válida se o binômio for elevado ao quadrado (potência 2), se ele estiver elevado à potência 3, devemos fazer o seguinte:

(a + b)3 é o mesmo que (a + b)2 . (a + b), como sabemos que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, basta substituirmos:

(a + b)3 =
(a + b)2 . (a + b) =
(a2 + 2ab + b2) . (a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b2

E se for elevado à quarta, à quinta, à sexta potência, devemos utilizar sempre o binômio elevado à potência anterior para resolver.
O binômio de Newton veio pra facilitar esses cálculos, pois com ele calculamos a enésima potência de um binômio.
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Coeficiente binomial e o Triângulo de Pascal