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Introdução à Álgebra Booleana

A lógica matemática pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este ramo da Matemática foi desenvolvido pelo matemático inglês George Booole (1815-1864) no século XIX, que criou a álgebra que leva seu nome, a Álgebra Booleana, que utiliza-se de símbolos e operações algébricas para representar as relações entre proposições.

Proposição

Uma proposição é uma sentença declarativa, normalmente implicando na relação entre dois elementos, à qual pode ser atribuido um valor lógico VERDADEIRO (V, ou 1 na Álgebra Booleana) ou FALSO (F, ou 0). Uma proposição deve satisfazer aos dois seguintes princípios fundamentais:

Ø Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo outra alternativa possível.

Ø Príncipio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

Uma proposição é usualmente indicada pelas letras maiúsculas (A, B, C, …). A tabela a seguir ilustra alguns exemplos de proposições (com seu valor lógico entre parênteses) e algumas afirmações que não podem ser consideradas proposições.

PROPOSIÇÃO
NÃO PROPOSIÇÃO
2 + 4 = 7 (F)
3 + 6
Um retângulo é um polígono de 4 lados (V) x + 8 = 10
A Terra não é um planeta (F)
Está chovendo

Operadores Lógicos

A Lógica Matemática se utiliza de diversos operadores para correlacionar as proposições entre si. A tabela a seguir ilustra os principais operadores e seus símbolos. Cada um desses operadores será detalhado mais adiante.

Símbolo
Operador
~
Não (negação)
^
E ν Ou
Ou Exclusivo

Operador “Negação”

A negação inverte o valor lógico de uma proposição. Sua notação é ~A (lê-se “não A” ou “negação de A”). A tabela a seguir ilustra os possíveis valores lógicos de uma proposição A e de sua negação:

A

~A

1

0

0

1

É importante observar que a negação da negação corresponde à própria proposição, ou seja, ~(~A) = A.

Operador “E”