INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO_Cálculo Aplicado

Cálculo Aplicado - Profa. Rosely Bervian

INTRODUÇÃO À
INTEGRAÇÃO

DEFINIÇÃO 1. Uma função F(x) é chamada uma primitiva ou antiderivada da função f(x) em um intervalo I, se para todo x  I, tem-se
F’(x) = f(x).

EXEMPLOS:

d) F(x)  ex é uma primitiva da função

a) F(x)  x 4 é uma primitiva da função

f(x)  ex , pois F'(x)  (ex )'  ex .

f(x)  4x3 , pois F'(x)  (x 4 )'  4x3 .

e) F(x)  ln|x| é uma primitiva da função

b) F(x)  senx é uma primitiva da função a f(x)  cosx, pois F'(x)  (senx)'  cosx.

1
1
f(x)  , pois F'(x)  (ln|x|)'  . x x

c) F(x)  cosx é uma primitiva da função

f) F(x)  arctg(x) é uma primitiva da função

f(x)  senx, pois F'(x)  (cosx)'  senx.

f(x) 

g) F(x)  ex  2 é uma primitiva da função

DEFINIÇÃO 2. Se F(x) é uma primitiva de f(x), então chamamos F(x) + C de integral indefinida de f(x) e é representada por f(x)dx .

f(x)  ex , pois F'(x)  (ex  2)'  ex .

1
1
, pois F'(x)  arctg(x)  ' 
.
2
1x
1  x2



h) F(x)  ex  C é uma primitiva da função f(x)  ex , pois F'(x)  (ex  C)'  ex .
PROPOSIÇÃO. Se F(x) é uma primitiva da função f(x), então a função F(x)+C, onde C é uma constante qualquer, também é uma primitiva de f.

 f(x)dx

 F(x)  C

De acordo com esta notação, o símbolo  é chamado sinal de integração e f(x) é a função integrando. O símbolo dx serve para identificar a variável de integração. 1

Cálculo Aplicado - Profa. Rosely Bervian

PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA

EXEMPLOS:

Sejam f e g funções definidas num intervalo I e K uma constante.

1)  3dx

i) kf(x)dx  k  f(x)dx ii)  f(x)  g  x  dx   f(x)dx   g(x)dx

2)  xdx
3)  x2dx
4)

 2x  cos(x) dx

 x3

5)   3x2  5  dx
2




11) Seja a função f que satisfaz a seguinte igualdade: 2 1

6)  2  3  1  dx
x x




1

7)  x   dx x 





9) tg2 (x)dx
10)

 1

8) 
 ex  dx
 x






5x3  6x2  4 dx x3

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA
DE VARIÁVEL
Sejam f(x) e F(x) funções tais que F’(x) = f(x).