Introdução às Derivadas 1.3 - Soluções

SEÇÃO 2.7

2.7

DERIVADAS E TAXAS DE VARIAÇÃO

 1

SOLUÇÕES

1. Utilizando (1),

4. Utilizando (1),

f ( x) - f (a) x-a m = lim

x a

x /(1 - x) - 0 x = lim x  0 x (1 - x ) x-0 1
= lim
= 1. x0 1 - x

m = lim

x0

(1 - 2 x - 3x2 ) - (-7)

= lim

x - (-2)

x -2

-3 x - 2 x + 8 x+2 (-3 x + 4)( x + 2)
= lim x -2 x+2 = lim (-3 x + 4) = 10.
2

= lim

Assim, uma equação da reta tangente é y – 0 = 1 (x – 0)  y = x.

x -2

5. (a) Utilizando (1),

x -2

Assim, uma equação da tangente é y + 7 = 10 (x + 2) ou y = 10x + 13.
Solução Alternativa: Utilizando (2), m = lim

h 0

= lim

h 0

= lim

h 0

= lim

h 0

= lim

h 0

= lim

h 0

f ( a + h) - f ( a ) h f (-2 + h) - f (-2) h é1 - 2(-2 + h) - 3(-2 + h)2 ù - (-7) êë úû h (-3h2 + 10h - 7) + 7 h h(-3h + 10) h ( - 3h + 10) = 10.

1
1
5
2
5
2a
x m = lim x a x-a 5 - 2a - 5 - 2 x
= lim x  a ( x - a ) 5 - 2 x 5 - 2a
2( x - a )
= lim x  a ( x - a ) (5 - 2 x )(5 - 2a )
5 - 2a + 5 - 2 x

(

= lim

(5 - 2 x)(5 - 2a )

x a

=

(

2
5 - 2a + 5 - 2 x

)

2
= (5 - 2a )-3/ 2 .
2(5 - 2a )3/ 2

(b) Em (2, 1): m = [5 - 2(2)]-3/ 2 = 1  y - 1 = 1 ( x - 2)  y = x - 1.
Em (-2,

1
3

y-

1
27

1
3

=

): m = [5 - 2(-2)]-3/ 2 =
[ x - (-2)]  y =

1 x 27

+

1
27



11
27

.

2. Utilizando (1),

m = lim

x 1

= lim

x 1

1/ x - 1
= lim x 1 x -1

x

(

-1

)

x +1

(

)

(c)

- x -1 x (

)(

x -1

)

x +1

1
=- .
2

Assim, uma equação da reta tangente é y - 1 = - 12 ( x - 1) ou y = - 12 x + 23 .

h 0

3. Utilizando (1),

1/x2 -

4 - x2 x -2 x - (-2) x -2 4 x2 ( x + 2)
(2 - x)(2 + x)
2- x
1
= lim
= lim
= . x -2 x -2 4 x2
4
4 x2 ( x + 2)

m = lim

1
4

= lim

Assim, uma equação da reta tangente é y  y = 14 x + 43 .

f ( a + h) - f ( a ) h 1 + (a + h) - 2(a + h)2 - (1 + a - 2a2 )
= lim h 0 h h - 4ah - 2h2
= lim
= lim (1 - 4a - 2h) h 0 h 0 h = 1 - 4a

6. f ¢(a ) = lim

1
4

=

1
4

( x + 2)

)

2

 SEÇÃO 2.7 DERIVADAS E TAXAS DE VARIAÇÃO
7.

f ( a + h) - f ( a ) h 0 h 3
(a + h) + 3(a + h) - (a3 + 3a )
= lim h 0 h 3a2