Interpolação

INTRODUÇÃO
Muitas funções são conhecidas apenas em um conjunto finito e discreto de pontos de um intervalo [a,b], possuindo seus valores dado por uma tabela.
Neste caso, tendo-se que trabalhar com esta função e não se dispondo de sua forma analítica, pode-se substituí-la por outra função, que é uma aproximação da função dada que é deduzida a partir de dados tabelados.
Além destas, podem-se também encontrar funções cuja forma analítica é muito complicada, fazendo com que se procure uma outra função que seja uma aproximação da função dada e cujo manuseio seja bem mais simples.
As funções que substituem as funções dadas podem ser de tipos variados, tais como: exponencial, logarítmica, trigonométrica e polinomial. Mas veremos apenas as funções polinomiais.

CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO
Seja a função y = (x), dada pela tabela abaixo, deseja-se determinar f(x) sendo:
a) x є (x0, x3) e x ≠ xi, i = 0, 1, 2, 3
b) x є (x0, x3)

i
0
1
2
3

xi x0 x1 x2 x3

yi y0 y1 y2 y3

Tabela 1

Para resolver (a) tem-se que fazer uma interpolação. E, sendo assim, determinase o polinômio interpolador, que é uma aproximação da função tabelada. Por outro lado, para resolver (b), deve ser realizada uma extrapolação, cujo estudo não será nosso objeto de estudo.

INTERPOLAÇÃO LINEAR
Dados dois pontos distintos de uma função y = f(x): (x0,y0) e (x1, y1), deseja-se calcular o valor de y para determinado valor de x entre x0 e y0, usando interpolação polinomial.
Pode-se provar que o grau do polinômio interpolador é uma unidade menor que o número de pontos conhecidos. Assim sendo, o polinômio interpolador nesse caso terá grau 1, isto é,
P1(x) = a1.x + a0
1

Para determiná-lo, os coeficientes a0 e a1 devem ser calculados de forma a resolver o sistema linear abaixo. a1.x0 + a0 = y0 a1.x1 + a0 = y1 onde a1 e a0 são incógnitas

O determinante da matriz A é diferente de zero, sempre que x0 ≠ x, logo para pontos distintos o sistema tem solução única.