Interpolação numérica

Cálculo Numérico
Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo – FEAU

Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia)

IV –Interpolação Numérica
Objetivos: O objetivo desta aula é apresentar a interpolação polinomial como forma de se obter uma aproximação para uma função f(x) que descreve um conjunto de dados. Veremos
3 metodologias para encontrar os polinômios. Inicialmente, utilizaremos o método de eliminação de Gauss (visto no capítulo III) para resolver o sistema de equações desejado obtido a partir da matriz de Vandermonde.
No final da aula veremos duas outras metodologias propostas para obter uma obter uma aproximação polinomial para uma função f(x): o método de Lagrange e o método de
Newton.

1. Introdução
Consideremos a tabela abaixo contendo uma lista de valores pra o calor especifico de um dado material em função de sua temperatura:

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1

2. O conceito de interpolação numérica

Graficamente, para n=5 temos (6 pontos), por exemplo:

nós

Obs: Nos nós da interpolação as funções f(x) e g(x) assumem os mesmos valores!
Durante essa aula consideraremos que g(x) pertence a classe das funções polinomiais embora existam outras formas de interpolação como utilizando funções trigonométricas, expansão por series, etc.

3. A interpolação polinomial

y
P2(x’)
P1(x’)

P2(x) = parábola → interpola 3 pontos
P1(x) = reta → interpola 2 pontos

x’
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x
2

Na notação matricial temos V × a = f, onde

V

,

a

a0 a1 a2
= .
.
. an e

f(x0) f(x1) f = f(x2)
.
.
.
f(xn)

A matriz V é uma matriz de Vandermonde e, portanto desde que x0, x1, x2, ...., xn sejam pontos distintos temos det (V)=0. Portanto, o sistema acima admite solução única. A matriz coluna a é a matriz das incógnitas e a matriz coluna f é a das constantes f(xi)=yi

IV – Interpolação