Integral dupla

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CALCULO III - MAT 211- IMEUSP- 1ö Semestre de 2012
Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira
INTEGRAL DUPLA: TEOREMA DE FUBINI E
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TEOREMA DE MUDANCA DE VARIAVEIS
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Defini¸˜es. co Parti¸˜o. Sejam a, b, c, e d quatro n´ meros reais. Consideremos no ca u plano cartesiano Oxy o retˆngulo a R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2 ∶ a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d}.
Consideremos tamb´m as parti¸˜es arbitr´rias e co a ⎧
⎪ P1 = {a = x0 < x1 < ... < xn = b}, do intervalo [a, b], e
⎪
⎨
⎪ P2 = {c = y0 < y1 < ... < ym = d}, do intervalo [c, d].
⎪
⎩

O conjunto P = P1 × P2 = {(xi , yj ) ∶ 0 ≤ i ≤ n e 0 ≤ j ≤ m} ´ dito uma e parti¸˜o do retˆngulo R. A parti¸˜o P divide R em nm sub-retˆngulos ca a ca a
Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1, yj ], com 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m.
A ´rea de Rij ´ m(Rij ) = ∆xi ∆yj , onde ∆xi = xi −xi−1 e ∆yj = yj −yj−1 . a e y Rij

ym = d yj yj −1 y1 y0 = c
...
x0=a

x1

...

x i− 1 x i

xn = b

Figura 1: Ilustra¸˜o ` parti¸˜o P. ca a ca x

Somas de Darboux. Seja f ∶ R → R uma fun¸˜o limitada (esta ca hip´tese ´ importante na defini¸˜o da integral de Riemann). Para o e ca cada sub-retˆngulo Rij da parti¸˜o P = P1 × P2 consideremos a ca

Mij = sup f = sup{f (x) ∶ x ∈ Rij } e mij = inf f = inf{f (x) ∶ x ∈ Rij } .
Rij

Rij

As somas superior e inferior de f relativa ` parti¸˜o P s˜o, respectivaa ca a

mente,

S(f ; P ) = ∑ ∑ Mij m(Rij ) e s(f ; P ) = ∑ ∑ mij m(Rij ). n m

n

m

i=1 j=1

i=1 j=1

Refinamento de uma Parti¸˜o. Dizemos que uma parti¸˜o P ′ do ca ca

retˆngulo R ´ um refinamento de uma parti¸˜o P de R se P ′ cont´m P. a e ca e

Isto ´, se P ′ ´ uma parti¸˜o de R que cont´m todos os pontos de P (e e e ca e

possivelmente outros pontos). Assim, cada sub-retˆngulo da parti¸˜o a ca
P ′ est´ contido em algum sub-retˆngulo da parti¸˜o P. Dizemos que a a ca P ′ ´ mais fina que P. e ′
′
´ a
Observa¸˜o. Sejam P = P1 × P2 e P ′ = P1 × P2 parti¸˜es de