Integral curvilineo

Integral Curvilíneo
Integral Curvilíneo de uma Função Vectorial sobre uma Curva de I . 17emR 2
Recordemos o Teorema Fundamental do Cálculo Integral para funções r.v.r.: b ”Sendo f : a, b Î I . 17emR, contínua então Þ f x dx  f b f a . ” a O teorema anterior relaciona o integral da derivada de uma função f em a, b com os valores de f na fronteira de a, b . Uma questão que se poderá pôr é a seguinte: será possível generalizar este resultado a Q I . 17emR 2 ? Será que um integral do tipo ÞÞ y dxdy se poderá relacionar com os valores de Q D em fr D ? E que um integral do tipo ÞÞ P dxdy se poderá relacionar com os valores de P em D x fr D ? Para responder a esta questão, introduziremos o conceito de integral curvilíneo. Seja AB um arco de curva contido em I . 17emR 2 e f :ABÎ I . 17emR uma função contínua. Comecemos por tentar aplicar a definição de integral duplo. Considerando P  e 1 , e 2 , , e n uma partição do arco AB, vem lim ÞÞ AB f x, y dxdy  Î0 n f x i , y i mes e i  0, i1 uma vez que a medida à Jordan de e i , mes e i , é nula.

Deste modo, o integral de qualquer função contínua definida numa curva seria nulo, e o conceito seria desprovido de interesse. Surge, assim, a necessidade de introduzir um conceito de medida em AB, diferente do considerado anteriormente. Seja AB um arco de curva contido em I . 17emR 2 , de equações paramétricas xt yt ,t tA, tB

com ,  C 1 t A , t B ,  t A ,  t A  x A , y A e  t B ,  t B  x B , y B . Considere-se uma partição P de t A , t B , definida por t 0 , t 1 , , t n , em que tA  t0 t1 tn  tB. , x n , e uma partição

A partição P induz uma partição P 1 em x A , x B , definida por x 0 , x 1 , P 2 em y A , y B , definida por y 0 , y 1 , , y n , tais que

xi   ti yi   ti

, i  0,

, n. ,n 1, sendo

O arco AB surge, assim, subdividido em arcos A i A i1 , i  0, A  A0  xA, yA e B  An  xB, yB .

Consideremos a linha poligonal, inscrita em AB,  i0 A i A i1 . Representemos por C P o in 1 comprimento