integral aplicada

7. Transformações Lineares

Definição 1: Sejam V e W espaços vetoriais. Uma Transformação linear (aplicação linear) é uma função de V em W, T: V  W, que satisfaz as seguintes condições:

i) Para qualquer u e v  V, segue que T(u + v) = T(u) + T(v) ii) Para qualquer   IR e v  V, segue que T(v) = .T(v)

Exemplo 1:
Sejam V = IR2 e W = IR3, T: IR2  IR3 definida por T(x, y) = (2x + y, x – y, x + y). Verifique se T é uma Transformação Linear.
Solução:
Sejam u = (x, y) e v = (x1, y1)  V
Então T(u + v) = T((x, y) + (x1, y1))
T(x + x1, y + y1)
T( 2(x + x1) + y + y1, x + x1 – (y + y1), x + x1 + y + y1)
T(2x + 2x1 + y + y1, x + x1 – y - y1 , x + x1 + y + y1)
T(2x + y, x – y, x + y) + T(2x1 + y1, x1 - y1, x1 + y1)
T(u) + T(v)
Logo a primeira condição é satisfeita.

T(v) = T(.(x1, y1))
T(.x1, y1)
T(2. .x1 + y1, .x1 - y1, .x1 + y1)
T(.(2x1 + y1, x1 - y1, x1 + y1)
.T(2x1 + y1, x1 - y1, x1 + y1)
.T(v)
Logo, a segunda condição é satisfeita.
Assim, T verifica as duas condições e, portanto é uma Transformação Linear.

Exemplo 2:

Seja T: IR3  IR2 uma transformação linear. = {(0, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} uma base de IR3. Determinar T sabendo que T(0, 1, 0) = (1, -2), T(1, 0, 1) = (3, 1) e T(1, 1, 0) = (0, 2).
Solução:
Seja v = a1v1 + a2v2 + a3v3, v  IR3 e seja a1, a2, a3  IR

Então T(v) = a1T(v1) + a2T(v2) + a3T(v3) ( Definição )

Isso significa que, primeiro devemos escrever v  IR3 como combinação linear dos vetores da base de IR3 : v1 = (0, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (1, 1, 0)
Assim, seja v = (x, y, z)  IR3, então

v = a1v1 + a2v2 + a3v3
(x, y, z) = a1(0, 1, 0) + a2(1, 0, 1) + a3(1, 1, 0)
(x, y, z) = (0, a1, 0) + (a2, 0, a2) + (a3, a3, 0)

 

Agora
T(v) = a1T(v1) + a2T(v2) + a3T(v3)
T(x, y, z) = a1T(0, 1, 0) + a2T(1, 0, 1) + a3T(1, 1, 0)
T(x, y, z) = (y – x + z) T(0, 1, 0) + (z) T(1, 0, 1) + (x – z) T(1, 1, 0)
T(x, y, z) = (y – x + z) . (1, -2) + (z)