Integrais triplas em coordenadas cilindricas e esféricas

Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
1. Coordenadas Cilíndricas
Em Geometria plana introduzimos o sistema de coordenadas polares para dar uma descrição conveniente de certas curvas e regiões. Existem dois sistemas de coordenadas semelhantes às polares, que conseguem nos fornecer uma descrição conveniente de algumas superfícies e sólidos.
No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P no especo tridimensional é representado pela tripla ordenada (r, θ, z), onde r e θ são coordenadas polares da projeção de P sobre o plano xy e z é à distância do plano xy ao ponto P, assim como mostra a Figura 1.

y

FIGURA 1
Para converter coordenadas cilíndricas para coordenadas retangulares utilizamos as seguintes equações:

Já para converter coordenadas retangulares em coordenadas cilíndricas, utilizamos:

Coordenadas cilíndricas são úteis em problemas que envolvem simetria em torno de um eixo, e o eixo z é escolhido para coincidir com o eixo de simetria. Por exemplo, o eixo do cilindro circular com equação em coordenadas cartesianas ele tem uma equação muito simples dada por

é o eixo de . Em coordenadas cilíndricas
Observe a Figura 2 abaixo:

FIGURA 2 um cilindro.

 EXEMPLO
Descreva a superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é

.

- > SOLUÇÃO: A equação diz que o valor de , ou superior, de cada ponto na superfície é igual a , a distância do ponto ao eixo

Como

não aparece, ele pode variar. Então qualquer traço

horizontal no plano

é um circulo de raio

Esses traços sugerem que a superfície é um

cone. Isso pode ser confirmado convertendo-se a equação em coordenadas retangulares. Da primeira equação em (2) temos:

Reconhecemos a equação

como sendo um cone cujo eixo é o eixo de

exemplo na Figura 3.

FIGURA 3 um cone.

Veja o

2. Coordenadas Esféricas

As coordenadas esféricas é a distância da origem a P,

de um ponto P no espaço são indicadas na Figura 4, onde é o mesmo ângulo que em coordenadas