integrais indefinidas
8156 palavras
33 páginas
Capítulo 6INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
6.1 Introdução
Na primeira parte do capítulo mostraremos como obter uma função conhecendo apenas a sua derivada. Este problema é chamado de integração indefinida.
Definição 6.1. Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função f (x) no intervalo I se para todo x ∈ I, tem-se:
F ′ (x) = f (x)
Muitas vezes não faremos menção ao intervalo I, mas a primitiva de uma função sempre será definida sobre um intervalo.
Exemplo 6.1.
[1] Seja f (x) = x3 , então F (x) =
x4 é uma primitiva de f em R, pois F ′ (x) = x3 = f (x).
4
x4
+ 5 é também uma primitiva de f em R, pois F ′ (x) = x3 = f (x). Na verdade,
4
x4
F (x) =
+ c, para todo c ∈ R é primitiva de f pois F ′ (x) = x3 = f (x).
4
[2] Seja f (x) = cos(x), então F (x) = sen(x) + c, para todo c ∈ R é uma primitiva de f . De fato,
F ′ (x) = cos(x) = f (x).
F (x) =
[3] Seja: f (x) =
1 x ∈ [a, b]
0 x∈
/ [a, b].
Não existe função definida em todo R cuja derivada seja igual a f (x). Por outro lado, considere a seguinte função:
x 0, (a = 1) ln(a) 16.
cosh(u) du = senh(u) + c
5.
eu du = eu + c
17.
sech2 (u) du = tgh(u) + c
6.
sen(u) du = −cos(u) + c
18.
cosech2 (u) du = −cotgh(u) + c
19.
sech(u)tgh(u) du = −sech(u) + c
20.
cosech(u) cotgh(u)du = −cosech(u) + c
21.
√
du
= argsenh(u) + c
1 + u2
22.
√
du
= argcosh(u) + c u2 − 1
23.
du
= −argsech(|u|) + c u 1 − u2
7.
cos(u) du = sen(u) + c
2
8.
sec (u) du = tg(u) + c
9.
cosec2 (u) du = −cotg(u) + c
10.
sec(u)tg(u) du = sec(u) + c
11.
cosec(u)cotg(u) du = −cosec(u) + c
12.
√
du
= arcsen(u) + c
1 − u2
√
√
6.3. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO
269
Métodos de Integração
Nas próximas seções apresentaremos os métodos mais utilizados que nos permitirão determinar uma grande quantidade de integrais não imediatas. O primeiro a ser estudado se baseia na regra da cadeia.
6.3 Método de