Integrais impróprios

Integrais Impróprios
Extendem a noção de integral a intervalos não limitados e/ou funções não limitadas.



Os integrais impróprios podem ser dos seguintes tipos:



integrais impróprios de 1 a espécie v quando os limites de integração são infinitos, isto é, quando o intervalo de integração não é limitado; integrais impróprios de 2 a espécie v quando a função integranda é não limitada no intervalo de integração (mas este é limitado);

Quando possuem situações dos dois tipos anteriores dizem-se integrais impróprios mistos.

Integrais Impróprios de 1 a espécie
Definição: Seja f uma função integrável em todo o subintervalo fechado e limitado de ¡a, .¡ (isto é, todo ¡a, *¢, com * u a).
Chama-se integral impróprio da função f em ¡a, .¡ a

;a

.

fŸx dx  lim

*v.

; a fŸx dx.
*

Caso o limite exista e seja finito, diz-se que o integral
.
impróprio ; fŸx dx é convergente, sendo esse o seu valor. a Caso contrário, isto é, se o limite não existir ou não for finito, diz-se que o integral impróprio é divergente.

Observação: Nas condições da definição anterior, ; fŸx dx é a simplesmente lim FŸ* , sendo F o integral indefinido de f.
.

*v.

Exemplo importante:

;1

.

.
; 1
1

xk

1 dx xk dx é

v Integral de Dirichlet divergente, se k t 1 convergente, se k  1

Analogamente:
Definição: Seja f uma função integrável em todo o subintervalo fechado e limitado de ¢"., b¢ (isto é, todo ¡), b¢, com ) t b).
Chama-se integral impróprio da função f em ¢"., b¢ a lim ; ". fŸx dx  )v". ; ) fŸx dx. b b

Caso o limite exista e seja finito, diz-se que o integral b impróprio ; fŸx dx é convergente.
".

Caso contrário, isto é, se o limite não existir ou não for finito, diz-se que o integral impróprio é divergente.

Definição: Seja f uma função integrável em todo o intervalo fechado e limitado de R. Diz-se que o integral impróprio

; ". fŸx dx
.

é convergente se, para algum c  R,