Integrais Impróprias

Integrais Impróprias

1. Introdução
Por definição, toda função contínua em um intervalo fechado, é integrável neste mesmo intervalo, de modo que, tendo uma função contínua no intervalo , então existe .
Porém, se é definida em intervalos do tipo ou ou ainda , ou seja, quando é definida , ou , ou ainda R, respectivamente, a função integranda é descontínua em um ponto tal que .

2. Integrais Impróprias
2.1. TIPO 1 – Integral em Intervalos Ilimitados
Definição: Nas condições anteriores, temos que:

i. Se é definida em então:
, se este limite existir;

ii. Se é definida em então:
, se este limite existir;

iii. Se é definida no intervalo R= então:
, se ambos os limites existirem.

Caso os limites existam, as integrais impróprias são ditas convergentes, caso contrário, são ditas divergentes.

2.2. Exemplos

2.2.1. Exemplo 1:
2.2.2. Exemplo 2:

2.3. TIPO 2 – Integrandos Descontínuos
Definição: Sabendo que é contínua no intervalo, então, existe a integral definida . Porém, se é descontínua infinitamente em algum ponto do intervalo, ainda assim é possível atribuir um valor à integral de . De modo que temos:

i. Se é uma função integrável em e então:
, desde que o limite exista;

ii. Se é uma função integrável em e então:
, desde que o limite exista;

iii. Se é uma função integrável em , exceto apenas na descontinuidade c tal que , mas é contínua no restante do intervalo , então:

Nestes casos, se o limite existir, as integrais impróprias são ditas convergentes, senão existirem, são ditas divergentes.

2.4. Exemplos
2.4.1. Exemplo1:
2.4.2. Exemplo2:

REFERÊNCIAS

DANTE, Luiz Roberto, Matemática Contexto & Aplicações, Volume 3 – 1ª Ed. São Paulo: Ática, 2001.
FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian Buss, Cálculo A: funções, limite, derivação, noções de integração – 2ª. ed. Florianópolis: Ed. Da UFSC, 1988.
STEWART, James, Cálculo, Volume I - 5ª Ed. São Paulo: Thompson Learning,