Int. numérica
Sabemos do Cálculo Integral que, se f (x) é uma função contínua num intervalo [a,b], então esta função tem uma primitiva neste intervalo, ou seja, existe F (x) tal que:
Assim:
No entanto, pode não ser tão fácil expressar esta função primitiva por meio de combinações finitas de funções elementares. Uma forma de se obter uma aproximação para a integral de f (x) num interval [a,b] é através de métodos numéricos. A idéia básica da integração numérica é a substituição da função f (x) por um polinômio que aproxime razoavelmente no intervalo [a,b]. A integração numérica é uma técnica comumente empregada na determinação de uma integral definida, cuja função ou não é disponível ou não possui uma solução analítica.
Regra dos Trapézios
A Regra dos Trapézios consiste em se aproximar o valor da função contínua de f(x) no intervalo [a,b] por uma função de primeira ordem; isto, geometricamente, é equivalente a aproximar uma curva qualquer por uma reta. Desta forma, a área sob a função f(x), que é equivalente à integral dessa função, é aproximada pela área do trapézio cuja largura é igual a (b – a) e a altura média igual a [f(a) + f(b)]/2. Podemos a partir deste conceito, desenvolver um raciocínio para encontrarmos um polinômio tal que aproxime-se à integral de f (x).
Dado o gráfico: [Figura 1]
A área sombreada corresponde à integral definida:
[Figura 2]
O Polinômio de Lagrange que interpola (a, f (a)),(b, f (b)) é o de grau 1:
Então, podemos dizer que:
A equação (1) equivale à fórmula da área do trapézio definida na figura 1. Então, podemos dizer que:
Assim, podemos definir:
Exemplo 1: Utilizando a regra dos trapézios obtenha um valor aproximado para a função:
Se calcularmos esta integral pelos métodos convencionais encontraremos:
Que é o valor exato para a integral.
Houve uma diferença entre os valores encontrados. Esse erro pode ser facilmente observado graficamente:
[Figura 3]
Ao unirmos os