int de sup
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5. INTEGRAL DE SUPERFÍCIE5
Integral de Superfície
5.1
Integral de Superfície de Funções Escalares
Sejam
S = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, z = ϕ (x, y)}
com ϕ ∈ C 1 , e f : S ⊂ IR3 −→ IR, contínua.
Para construir um conceito de integral de f em S, comecemos por considerar uma partição de D, P = {e1 , e2 , . . . , en }.
Defina-se então
Si = {(x, y, z) : (x, y) ∈ ei , z = ϕ (x, y)} .
Para i = 1, . . . , n, seleccione-se (xi , yi ) ∈ ei , .
Definição 5.1.1 Designa-se por integral de superfície de f em S, e representase por f (x, y, z) dS,
S
o limite, quando existe, n lim
λ−→0
f (xi , yi , zi ) mes (Si ) , i=1 em que λ representa o diâmetro de P .
110
5.1. Integral de Superfície de Funções Escalares
Deduzimos, em seguida, a fórmula de cálculo que permite determinar um integral de superfície através de um integral duplo.
Assim, retomemos novamente a definição de integral de superfície, n f (x, y, z) dS = lim
λ−→0
S
(1)
f (xi , yi , zi ) mes (Si ) . i=1 Como
(2)
zi = ϕ (xi , yi ) e ∂ϕ
∂x
mes (Si ) = ei 2
+
∂ϕ
∂y
2
(3)
+ 1 dxdy.
vem, substituindo (2) e (3) em (1), n f (x, y, z) dS = lim
λ−→0
S
∂ϕ
∂x
f (xi , yi , ϕ (xi , yi )) ei i=1
2
+
∂ϕ
∂y
2
+ 1 dxdy.
(4)
Aplicando o teorema do valor médio ao integral duplo do 2 membro de (4), conclui-se que o f (x, y, z) dS =
S
n
= lim
λ−→0
i=1
f (xi , yi , ϕ (xi , yi ))
∂ϕ
∂x
2
+
2
∂ϕ
∂y
+ 1
mes (ei ) , (5)
(xi ,yi )
em que (xi , y i ) ∈ ei .
Como ϕ é uma função de classe C 1 , podemos substituir, em (5), (xi , y i ) por
(xi , yi ) obtendo-se, finalmente,
f (x, y, z) dS =
S
f (x, y, ϕ (x, y))
D
∂ϕ
∂x
2
+
∂ϕ
∂y
Se considerarmos a superfície definida por
S1 = {(x, y, z) : (x, z) ∈ D1 , y = ψ (x, z)} ou S2 = {(x, y, z) : (y, z) ∈ D2 , x = χ (y, z)} ,
111
2
+ 1 dxdy.
(6)
5.1. Integral de