Instrumentação e controle industrial

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE INDUSTRIAL
PROFESSOR VICTOR O. GAMARRA ROSADO

Exercício 1: Determinar a função de transferência dada por G(s) = X1(s)/F(s) para o sistema mecânico a seguir. E por simulação, determinar a resposta de x1(t) para uma entrada f(t) = impulso unitário, usando as ferramentas do software MatLab.

Resolução:
𝛴𝐹1 = 𝑀1 𝑥1̈
−𝑘1 (𝑥1 − 𝑥2 ) − 𝐵1 (𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 ) = 𝑀1 𝑥̈ 1
Aplicando a Transformada de Laplace, tem-se:
−

𝑘1 𝑘2
− − 𝐵1 (𝑠𝑌1 (𝑠) − 𝑦1 (0) + 𝑠𝑌2 (𝑠) − 𝑦2 (0) = 𝑀1 (𝑌(𝑠)𝑠12 − 𝑠𝑦1 (0) − 𝑦1′ (0)) = 0
𝑠1 𝑠2
−

𝑘1 𝑘2
− − 𝐵1 𝑠𝑌1 (𝑠) − 𝐵1 𝑠𝑌2 (𝑠) = 𝑀1 (𝑌1 (𝑠)𝑠12 )
𝑠1 𝑠2

𝑌1 (𝑠)(𝑀1 𝑠12 + 𝐵1 𝑠1 ) + 𝑌2 (𝑠)(𝐵1 𝑠1 ) −
EQUAÇÃO 1

1

𝑘1 𝑘2
−
=0
𝑠
𝑠

𝛴𝐹2 = 𝑀2 𝑥̈
−𝑘2 𝑥2 − 𝐵2 𝑥2̇ + −𝑘1 (𝑥1 − 𝑥2 ) + 𝐵1 (𝑥1 − 𝑥2 ) = 𝑀2 𝑥̇ 2
Aplicando a Transformada de Laplace, tem-se:
−

𝑘2
𝑘1 𝑘1
− 𝐵2 (𝑌2 (𝑠) − 𝑦2 (0)) + 𝑒 −5 + −
𝑠2
𝑠
𝑠
+ 𝐵1 (𝑠2 𝑌2 (𝑠) − 𝑦2 (0) + 𝑠1 𝑌1 (𝑠) − 𝑦1 (0) = 𝑀𝑠 2 𝑌2 (𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦 ′ (0)) = 0

−

𝑘2
− 𝐵2 𝑌2 (𝑠)𝑠2 + 𝑒 −5 + ⋯ + 𝐵1 (𝑠2 𝑌2 (𝑠) + 𝑠1 𝑌1 (𝑠)) = 𝑠22 𝑌2 (𝑠)𝑀
𝑠
𝑌2 (𝑠)(𝐵2 𝑠2 + 𝐵1 𝑠2 + 𝑀2 𝑠 2 ) + 𝑌1 (𝑠)(𝐵1 𝑠1 ) −

𝑘2
+ 𝑒 −5 = 0
𝑠

EQUAÇÃO 2

Juntando as equações 1 e 2, tem-se:
Y2 ( s)(B2 s  B2 s  M 2 s 2 )  Y1 ( s)(B2 s)  e 5 

Y1 (s)(B1 s)  Y1 (s)(M 1 s 2  B1 s) 

K2 s K1  K 2 s Aplicando a Regra de Cramer para resolver o sistema:

B2 s  B1s  M 2 s 2
Y1 

Y1 

B1s
B2 s  B1s  M 2 s 2
B1s

K2
2
K1  K 2 s B1s
M 1s 2  B1s
 e5 

K2
)
2
( B2 s  B1s  M 2 s s )(M 1s 2  B1s)  ( B1s) 2

( B2  B1  M 2 s)( K1  K 2 )  B1s(e  5 

Portanto, a função transferência é:
K
( B2  B1  M 2 s )( K1  K 2 )  B1s(e  5  2 )
Y1 ( s )
2
 (s) 

2
2
2
F ( s ) [( B2 s  B1s  M 2 s )(M 1s  B1s)  ( B1s ) ]( e  5 )

RESPOSTA

2

Simulação no Software MatLab, obtemos o seuinte gráfico e o