Indução a matemática

Unifacs

Trabalho sobre Indução Matemática

Indução Matemática, o que é?
A Indução Matemática é um importante método de demonstração matemática trabalhado geralmente, nos cursos de Álgebra ou de Teoria dos números dos cursos de formação de professores, tendo aplicações em quase todas as áreas da matemática. Foi desenvolvida a partir do o último axioma de Giusep Peano (1858 – 1932), que praticamente define os Números Naturais (LIMA, 2007), mas foi August De Morgan, que em 1883, descreveu esse processo cuidadosamente e deu a ele o nome de Indução Matemática.
Suponha que para cada natural n, se tenha uma afirmativa P(n) que satisfaça as seguintes propriedades: (i) P(a) é verdadeira; (ii) Sempre que a afirmativa é verdadeira para um natural k qualquer e é verdadeira para o seu sucessor k+1;
Então:
P(n) é verdadeira para todo n natural (VIDIGAL et. al.,2005) É importante destacarmos que a Indução Matemática é constituída de duas propriedades, cada uma de considerável importância, pois a primeira garante que estamos partindo de um fato verdadeiro para o primeiro número natural a, a segunda garante que se a afirmação é verdadeira para um natural k a qualquer e implica em verdadeira para o seu sucessor, então é verdadeira para todo natural.

Exemplo:

Prove por Indução que:

Verificando a primeira propriedade, temos: , verdadeira. Suponhamos que P(k) seja verdadeira: Tentaremos provar que a sequência é verdadeira para P(k + 1).

P(k)

, P(k+1) é verdadeira, logo P(n) é verdadeira n N.

Exemplo 2:

A Afirmação é verdadeira para n=1, ou seja, mostram que a1 = S1 a1 é o primeiro termo à esquerda ou você pode encontrá-lo, substituindo n = 1 na fórmula para o termo geral, a n.
S 1 é encontrado substituindo n = 1 na fórmula para a soma º n parciais, S n. lhs: a 1 = 1 rhs: S 1 = 1 (1 +1) [2 (1) + 1] / 6 = 1 (2) (3) / 6 = 1
Assim, você pode ver que o lado esquerdo é igual ao lado direito para o