Inclusão

Páginas: 7 (1528 palavras) Publicado: 26 de setembro de 2011
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS E DEMONSTRAÇÕES
nível 2

Prof. Élio Mega

A partir do século V aC, os matemáticos gregos desenvolveram uma parte da Matemática, intimamente ligada à Geometria, conhecida como Construções Geométricas com Régua e Compasso. Os problemas de construções geométricas são muito interessantes e alguns deles devem ser enfrentados por quem está interessado em Geometria. É bomsaber que os gregos antigos propuseram e resolveram muitos problemas de construção difíceis, mas não conseguiram resolver, ou melhor, não conseguiram provar que não tinham solução os três problemas conhecidos, respectivamente, como
(1) a trisecção de um ângulo
(2) a duplicação de um cubo
(3) a quadratura de um círculo
consistindo em,usando apenas régua e compasso,
(1) dividir um ângulo dado qualquer em três partes iguais (ou seja, em três ângulos congruentes cuja soma é o ângulo dado)
(2) construir o lado de um cubo, cujo volume é o dobro do volume de um cubo cujo lado é dado
(3) construir um quadrado cuja área é a mesma de um círculo dado
Esses problemas foramenfrentados com sucesso apenas no século XIX, com a ajuda da Álgebra. Mas isto já é outra história. Com certeza você ainda irá ouvir bastante sobre esse assunto, em outras oportunidades.
Para resolver problemas de construções geométricas, além de lápis e papel, utilizam-se dois instrumentos para desenhar figuras: um compasso e uma régua (sem escala). O compasso será utilizado para desenharcircunferências e a régua, para traçar retas. Serão utilizadas apenas as seguintes operações (que se justificam pelos axiomas da Geometria Euclidiana):

O1. Traçar uma reta[1] por dois pontos conhecidos.
O2. Desenhar uma circunferência, dados o seu centro e o seu raio.
O3. Marcar os pontos, quando houver, de intersecção de duas linhas (duas retas, duas circunferências ou uma retae uma circunferência).

Para simplificar as construções, é comum desenharmos arcos de circunferência em vez de circunferências, além de segmentos de retas e semi-retas em vez de retas. Entretanto, há situações em que essa prática pode ocultar soluções válidas de um problema, sendo necessária a devida atenção para evitar isso.
Uma construção geométrica consiste numa seqüência finita depelo menos uma dessas operações. Iremos desenvolver um procedimento adequado para descrever os passos de uma construção (como um programa de computação). Mas o mais importante são os conceitos, idéias e teoremas geométricos envolvidos na resolução dos problemas. Por isso, iremos exercitar a atividade fundamental característica da Matemática: a demonstração. O fato de exibirmos uma figuradesenhada não basta para afirmar que um problema foi resolvido: é preciso provar, com bases nas leis da lógica e nos fatos já conhecidos (definições, axiomas ou teoremas), que tudo o que foi feito é válido. Por isso, cada passo da construção deve ser justificado (isto é, demonstrado). Vamos ver um exemplo.

Construir um triângulo, dados dois de seus lados e o ângulo formado por eles.

Nesta primeiradescrição da construção, iremos explicar detalhes que serão omitidos nas próximas.

Procedimento:
1) Transporte o segmento maior para um lugar conveniente:
❑ marque um ponto num lugar conveniente da página (ponto A)
❑ coloque a ponta seca do compasso numa extremidade do segmento dado maior e a ponta com grafite na outra extremidade do mesmo
❑ sem mexer na abertura docompasso, coloque a ponta seca no ponto A e trace um pequeno arco (para a direita, por exemplo)
❑ marque um ponto desse arco (ponto B)
❑ com a régua, desenhe o segmento AB
2) Transporte o ângulo dado, de forma que seu vértice coincida com A e um de seus lados com o segmento AB.
❑ com ponta seca no vértice do ângulo dado, trace uma circunferência (arco) de raio menor do que AB;...
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