Historia do pi

• Começaremos supondo que [pic] é racional.

• Considerando o número [pic] racional, usaremos ele numa função e sua integral dará como resultado INTEIRO E POSITIVO.

• Usaremos a mesma integral, faremos alguns “ajustes” e a mesma dará MENOR QUE UM.

Como uma integral é INTEIRA E POSITIVA e MENOR QUE UM ao mesmo tempo?

Isso é um absurdo!

Introdução

Inicialmente considere o teorema:
“Se k é racional então k² é racional”.

Sua contraposição:
“Se k² é irracional então k é irracional”.

Como o teorema é verdadeiro sua contraposição também é verdadeira.

Partiremos da contraposição para provar que o [pic] é irracional.

Assim mostraremos que [pic]² é irracional.
Uma consequência desse fato é que [pic] é irracional.

Consideremos as funções:

E assim, sucessivamente até:

1. Dada a função mostre que

Demonstração:

2. Dada a função , mostrar que: Se então

Ao compararmos as duas frações abaixo, concluímos que as frações possuem o mesmo denominador, logo Fn é menor, pois o numerador como demonstrado, é menor do que 1.

Exemplo numérico

Das funções que apresentamos no início, calculando as derivadas de , temos:

PODEMOS OBSERVAR QUE

Para qualquer , calculando todas as derivadas dessa função e substituindo o ZERO obtemos ZERO como resultados em todas as derivadas antes n e depois de 2n;

Entre a derivada de ordem n e a derivada de ordem 2n, os resultados são sempre inteiros.

O mesmo ocorre se substituirmos x por 1.

Exemplos:

Substituindo 0 em todas as derivadas obtemos resultado 0 até a derivada segunda e após a derivada Sexta.
Entre a derivada terceira e a derivada sexta, obtemos números inteiros.

OBSERVE:

Substituindo 1 em