graduação

Método de Exaustão dos Antigos:
O Princípio de Eudoxo-Arquimedes
Joaquim António P. Pinto
Aluno do Mestrado em Ensino da Matemática
Número mecanográfico: 030370027
Departamento de Matemática Pura da
Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
Disciplina: História da Análise
Docente: Professor Doutor Carlos Correia de Sá

Introdução
O método de exaustão é também conhecido por Princípio de EudoxoArquimedes, por ter na sua base a teoria das proporções apresentada por Eudoxo de
Cnido (408-355 a. C.) e por Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.) ter sido o matemático que maior visibilidade lhe deu.
Eudoxo apresentou a sua teoria das proporções como modo de ultrapassar a
“crise” surgida na matemática grega aquando da descoberta dos incomensuráveis, que deitava por terra a teoria das proporções dos pitagóricos. Arquimedes aplicou o método de exaustão para provar os inúmeros resultados relativos a comprimentos, áreas e volumes de diversas figuras geométricas e também ao cálculo de centros de gravidade; alguns destes resultados já eram conhecidos mas outros eram inteiramente novos.
Assim, para darmos uma pálida ideia do que é o método de exaustão, nome dado no século XVII por Gregório de S.Vicente, começaremos por apresentar a teoria das proporções formulada por Eudoxo e magistralmente apresentada por Euclides no Livro
V dos seus Elementos.
De seguida, passaremos para o Livro X, onde Euclides, logo na primeira proposição, apresenta o método de exaustão.
Munidos do método de exaustão, iremos demonstrar que a razão entre dois círculos é a razão entre os dois quadrados cujos lados são os diâmetros desses círculos. Achámos pertinente demonstrar aqui – à Euclides – esta proposição a segunda do Livro XII dos Elementos, pois trata-se da primeira prova que se conhece que tenha sido realizada pelo método de exaustão (Sá, 2000).

Teoria das Proporções de Eudoxo
Como começámos por referir, Eudoxo apresenta uma teoria das proporções que é aplicável