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Teorema de Bolzano-Cauchy
Seja f uma função real de variável real contínua no intervalo fechado [a, b] .
Se s é um ponto do intervalo aberto de extremos f (a ) e f (b ) , então existe pelo menos um c ∈ ] a, b [ tal que f (c ) = s .

Corolário do Teorema de Bolzano
Se f é contínua em [a, b] e se f (a ) e f (b ) têm sinais contrários, então existe pelo menos um zero da função f no intervalo ] a, b [ .

Ou simplesmente:
Se f é uma função contínua em [a, b] , não passa de f (a ) para f (b ) sem passar por todos os valores intermédios. E1. Seja g uma função real de variável real definida em [− 5, 2] e tal que g (− 5) = 1 e g (2) = −3 .
Quanto ao número de zeros da função g no intervalo ] − 5, 2 [ podemos dizer:
(A)
(B)
(C)
(D)

Não tem zeros
Tem pelo menos um zero
Nada podemos concluir quanto ao número de zeros
Tem exatamente um zero

E2. De uma função f contínua em ] 2, 6 [ sabe-se que f (2) = 5 e f (6) = 10 .
Quanto ao número de soluções da equação f ( x ) = 8 no intervalo [2, 6] podemos concluir que:
(A)
(B)
(C)
(D)

Não tem nenhuma solução
Tem pelo menos uma solução
Nada podemos concluir quanto ao número de soluções
Tem exatamente uma solução

E3. De uma função g real de variável real monótona e contínua em [ − 1, 3 ] sabe-se que g (− 1) ⋅ g (3) > 0 .
Quanto ao número de soluções da equação g ( x ) = 0 no intervalo ] − 1, 3 [ podemos concluir que:
(A) Não tem nenhuma solução
(B) Tem pelo menos uma solução
(C) Nada podemos concluir quanto ao número de soluções
(D) Tem exatamente uma solução

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E4. Seja h uma função injetiva definida no intervalo [− 1, 4] e tal que h(− 1) = 7 e h(4) = −2 .
Quanto ao número de zeros da função no intervalo [− 1, 4] podemos concluir que:
(A) Não tem zeros
(B) Tem pelo menos um zero
(C) Nada podemos concluir quanto ao número de zeros
(D) Tem exatamente um zero

E5. Prove, usando o Teorema de Bolzano que a equação g ( x ) = 5 tem pelo menos uma solução no intervalo x2 + 2
]− 4, − 1