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INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA EM CAMPOS DE GALOIS GF(2m)

1.1. INTRODUÇÃO
O propósito deste texto é apresentar a conceituação básica da álgebra em Campos de Galois. A abordagem usada para a apresentação deste assunto é descritiva e com vários exemplos com o objetivo de facilitar o entendimento da estrutura algébrica de códigos de bloco lineares, principalmente os BCH (Bose, Chaudhuri e Hocquenghen) e Reed-Solomom (RS), sem nenhum compromisso com o rigor matemático de teoremas e suas respectivas provas.

1.2. CAMPOS
Seja F um conjunto de elementos sobre o qual duas operações binárias, a adição “+” e a multiplicação “•”, são definidas. F, junto com as duas operações binárias, é um campo se as seguintes condições são satisfeitas:
1. F é um grupo comutativo sob +. O elemento identidade é o 0 (zero).
2. O conjunto dos elementos não zero em F é um grupo comutativo sob •. O elemento identidade é o 1 (um).
3. A multiplicação é distributiva sob adição, i.e., para quaisquer a, b e c em F, a⋅ (b + c) = a⋅ b + a⋅ c

A partir da definição pode-se afirmar que um campo possui pelo menos dois elementos: o elemento identidade aditivo e o elemento identidades multiplicativo.
Outras definições preliminares sobre um campo são:
Ordem do campo: é número de elementos que compõem o campo.
Elemento aditivo inverso de a: é representado por -a.
Elemento multiplicativo inverso de a: é representado por a -1 (dado que a ≠ 0).
Subtração em um campo: a subtração de um elemento a por outro elemento b, ambos pertencentes a um campo, é definida como
∆

a − b = a + (− b )
Divisão em um campo: a divisão de um elemento a por um elemento não zero b, ambos pertencentes a um campo, é definida como
∆

a ÷ b = a ⋅ b −1

1_Álgebra_V2011Rev2 - Geraldo Gil R. Gomes

1.1

1. Introdução à Álgebra em Campos de Galois GF(2m)
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Campos de Galois: é um campo com um número finito de