Geometria

Exercícios resolvidos da lista 9.
1. ABCD é um quadrilátero circunscritível cujos lados medem AD = 12 cm, DC = 9 cm, BC = x + 7 e AB = 2x + 1.
Determine o perímetro desse quadrilátero.
Resposta.
Por um ponto fora da circunferência, tem-se dois segmentos tangentes e de mesma medida.
y  z  12
1) Pelos ponto A, D e C: 
.
w  z  9
De (1), somando a primeira equação à segunda multiplicada por (-1), obtemos: 2) y  w  3.
y  v  2x  1
3) pelos pontos A, B e C: 
.
w  v  x  7
De (3), somando a primeira equação à segunda multiplicada por (-1), obtemos: 4) y  w  x  6 .
5) De (2) e (4): x  6  3  x  9 .

 

 

 

 

6) Assim: m AB  19;m BC  16;m CD  12;m AD  9 .
Por (6), a soma dos segmentos do quadrilátero ABCD é igual a:

 

 

 

 

m AB  m BC  m CD  m AD  19  16  12  9  56cm .

2. Calcule o valor do raio r do círculo inscrito no trapézio retângulo.

Resposta.
1) Observe, por construção da figura e por paralelismo.

 

m AB  2r , sendo r o raio da circunferência.
2) Por construção e paralelismo, novamente, temos agora:
2
2r   15  10  132  4r 2  169  25  r  36  6 .
Então, o raio da circunferência é igual a 6um.

15  10  5

3. A diferença de dois lados opostos de um quadrilátero circunscritível é igual a 8 cm e a diferença dos outros dos lados é 4 cm. Determine os lados do quadrilátero, sendo 56 cm a sua soma.
Resposta.
Porque o quadrilátero é circunscrito a uma circunferência e pelo
(segmentos tangentes por um ponto fora da circunferência):
1) m  AC   m  AD    y  z   v  w  8 .
2) m  AB   m CD   y  v    z  w  4 .
3) m  AB   m  BC   m  CD   m  DA   2 y  z  v  w  56 .
Somando (1) a (2), obtemos: 2  y  w  12  y  w  6 , ou seja:
4) y  w  6  y  6  w .
Subtraindo (2) de (1), temos: 2  z  v   4  z  v  2 , ou seja:
5) z  v  2  z  2  v .
6) Substituindo (4) e (5) em (3), teremos: