Geometria Espacial De Posicao

Páginas: 11 (2747 palavras) Publicado: 28 de julho de 2015
1

COLÉGIO MILITAR DE SALVADOR

2014

GEOMETRIA ESPACIAL
DE POSIÇÃO (1)
CONCEITOS PRIMITIVOS




Ponto
Reta
Plano

notação:
notação:
notação:

Reta e plano
o
A reta está contida no plano
o
A reta é concorrente (ou secante)
com o plano.
o
A reta e o plano são paralelos.


A, B, C ...
r, s, t ...

POSTULADOS
Postulado da existência
o Existe reta e, numa reta, bem
como fora dela, há infinitospontos.
o Existe plano e, num plano, bem
como fora dele, há infinitos pontos.


Postulado da determinação
o Dados dois pontos distintos do
espaço, existe uma única reta que contém
ambos os pontos.
o Dados três pontos não colineares
do espaço, existe um único plano que os contém.



Duas retas no espaço

coplanares





Postulado da inclusão
o Se uma reta tem dois de seus
pontos em um plano, elaestá
contida no plano.

Ponto e reta

Pontos colineares são pontos tais que
existe uma reta à qual eles pertençam
simultaneamente.


Ponto e plano

Pontos coplanares são pontos tais que
existe um plano que os contém simultaneamente.

mgc.2014.2em

distintas
paralelas
coincidentes (iguais)

não coplanares (reversas)



Dois planos no espaço

secantes

paralelos

POSIÇÕES RELATIVAS
concorrentes

distintos
coincidentes (iguais)

DETERMINAÇÃO DE UM PLANO





3 pontos não colineares
2 retas paralelas distintas
2 retas concorrentes
1 reta e 1 ponto fora dela

MATEMÁTICA

Prof. Mário

MATEMÁTICA

COLÉGIO MILITAR DE SALVADOR

2

PARALELISMO NO ESPAÇO

PROPRIEDADES

 Duas retas distintas são paralelas
quando, e somente quando, são coplanares e não
têm ponto comum.
 Dois planosdistintos são paralelos
quando, e somente quando, não têm ponto
comum.
 Uma reta e um plano que não a contenha
são paralelos quando, e somente quando, não
têm ponto comum.

1. Para que uma reta seja perpendicular a
um plano, é necessário e suficiente que ela seja
perpendicular a duas retas concorrentes
contidas nesse plano.
2. Dados um ponto P e uma reta r, existe
um único plano que passa por P e éperpendicular
a r.
3. Se uma reta é perpendicular a um plano,
qualquer reta paralela a ela também é
perpendicular ao plano.
4. Se dois planos são paralelos, toda reta
perpendicular
a
um
deles
é
também
perpendicular ao outro.
5. Se uma reta r e um plano
são ambos
perpendiculares a um plano , a reta r é paralela
ao plano .
6. Se dois planos
e
se intersectam
segundo uma reta r e se
é um outro planoperpendicular a cada um dos planos
e ,
então é perpendicular à reta r.

PROPRIEDADES
1. Quando dois planos distintos são
paralelos, qualquer reta de um deles é paralela
ao outro.
2. Quando uma reta é paralela a um plano,
ela é paralela a pelo menos uma reta desse
plano.
3. Quando uma reta não está contida em um
plano e é paralela a uma reta do plano, ela é
paralela ao plano.
4. Se um plano intersectadois planos
paralelos, as intersecções são duas retas
paralelas.
5. Quando um plano contém duas retas
concorrentes, paralelas a um outro plano, então
os planos considerados são paralelos.
PERPENDICULARISMO NO ESPAÇO
 Retas
ortogonais
são
retas
que
determinam quatro ângulos congruentes. Se
forem concorrentes serão perpendiculares.
 Uma reta que intersecta um plano é
perpendicular a ele se ela éperpendicular a
todas as retas desse plano que passam pelo
ponto de intersecção.
 Um plano é perpendicular a outro quando,
e somente quando, existe uma reta contida em
um deles e perpendicular ao outro.

Teorema das três perpendiculares
Sendo r perpendicular a
no ponto P, s
contida em e passando por P, t contida em
não passando por P e perpendicular a s em Q, e
R um ponto qualquer de r, então a retaRQ é
perpendicular à reta t.

COLÉGIO MILITAR DE SALVADOR

3

01) Assinale como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações
seguintes:
a) (

) ponto, reta e plano são conceitos primitivos, ou seja, conceitos que
não se definem.
b) ( ) uma reta é um conjunto de infinitos pontos.
c) ( ) um plano é limitado pelo seu contorno.
d) ( ) uma reta não possui origem e nem extremidade.
e) ( )...
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