Geometria analitica

REDEFOR Rede São Paulo de Formação Docente Especialização de Matemática
Módulo 4 Disciplina 8 – Polinômios e Equações Algébricas, Estudo de Funções e Gráficos Substitutiva – (Data da entrega: 21/09/2012) OBS: Esta atividade é opcional e pode servir para substituir a nota mais baixa dentre todas as atividades semanais 1, ..., 8 e também abonar uma ausência semanal.
1) (5,0) Considere o polinômio (definido nos reais) . Existe . Caso

, tal que

possua 4 raízes reais? Se sim, calcule os possíveis valores de

contrário, justifique porque não existe. As equações polinomiais de grau maior do que 2 não têm um processo determinado de resolução por meio de fórmulas. Devemos procurar, então, uma ou mais raízes para com elas encontrar todas as raízes. Utilizando a propriedade que nos auxiliará na pesquisa das raízes de uma equação algébrica de coeficientes inteiros: p(x) = anxn + an-2xn-2+ ...+ a0. Pesquisando as raízes do polinômio p(x) = x4 – mx2 - 4. Na equação x4 – mx2 - 4 = 0, temos a0 = -4 e an = 1. P é divisor de -4 P ϵ {-1,+1,-2,+2,-4,+4}

q é divisor de 1 q ϵ {-1,+1}

Pela propriedade, as prováveis raízes são: p/q= {-1,+1,-2,+2,-4,+4}

Se considerar -1 como raiz, temos o valor de m: p(x) = x4 – mx2 - 4 p(-1) = (-1)4 – m(-1)2 - 4 0= 1 –m -4 m= -3 p(x) = x4 + 3x2 - 4

Se considerar 1 como raiz, temos o valor de m: p(x) = x4 – mx2 - 4 p(1) = (1)4 – m(1)2 - 4 0= 1 –m -4 m= -3 p(x) = x4 + 3x2 - 4

Se considerar -2 como raiz, temos o valor de m: p(x) = x4 – mx2 - 4 p(-2) = (-2)4 – m(-2)2 - 4 0= 16 –4m -4 m= 3 p(x) = x4 - 3x2 - 4

Se considerar 2 como raiz, temos o valor de m: p(x) = x4 – mx2 - 4 p(2) = (2)4 – m(2)2 - 4 0= 16 – 4m -4 m= 3 p(x) = x4 - 3x2 - 4

Se considerar -4 como raiz, temos o valor de m: p(x) = x4 – mx2 - 4 p(-4) = (-4)4 – m(-4)2 - 4 0= 256 – 16m -4 m= 63/4 p(x) = x4 – 63/4x2 - 4 (não apresenta coeficiente inteiro)

Se considerar 4 como raiz, temos o valor de m: p(x) = x4 – mx2 - 4 p(4) = (4)4 – m(4)2 - 4 0= 256 – 16m -4 m= 63/4