Geometria analítica: a reta no plano - apostila c/ teoria e exercícios

Páginas: 13 (3068 palavras) Publicado: 16 de maio de 2013
Geometria Analítica

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CAPÍTULO 4
A Reta no Plano
4 – Estudo da reta no ℝ 2
4.1 - Condição de Alinhamento de 3 pontos no ℝ 2 Consideremos 3 pontos alinhados A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) do ℝ 2 .

ˆ Da semelhança dos triângulos retângulos ADB e BEC, temos: BÂD = CBE .

Como tg (BÂD) =
tem-se : Daí :
yB − y A

yB − y A

xB − x A
y c − yB

ˆ = tg (CBE) =

y c −yB

x c − xB

xB − x A x c − xB (yB − yA) ⋅ (xC − xB) = (xB − xA) ⋅ (yC − yB)

=

Desenvolvendo e simplificando, tem-se: xA yB + xB yC + xC yA − xA yC − xB yA − xC yB = 0 ou

xA xB
xC

yA 1 yB 1 = 0 yC 1

Como os passos usados na dedução foram de ida e volta (⇔), podemos afirmar que: A condição necessária e suficiente para que 3 pontos A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) do xAyA 1 2 ℝ estejam alinhados é que seja nulo o determinante xB y B 1 . xC y C 1 OBS: Este resultado é igualmente válido nos casos em que os pontos A, B e C pertencem a uma reta paralela a um dos eixos coordenados. 4.2 - Equação geral da reta no ℝ 2
Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira

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Uma reta r do plano cartesiano possui equação da forma a x + b y + c = 0, ondea, b, c∈ ℝ com a e b não simultaneamente nulos (ou seja: a2 + b2 ≠ 0). Esta equação a x + b y + c = 0 é chamada equação geral da reta. Com efeito, consideremos sobre r dois pontos distintos A=(xA, yA), B=(xB, yB) e um ponto genérico P=(x, y).

Como P, A e B estão alinhados, temos: xA xB
xC

yA 1 yB 1 = 0 yC 1

Desenvolvendo o determinante, obtemos: x yA + xA yB + y xB − xB yA − xA y − x yB= 0 ou (yA − yB) x + (xB − xA) y + (xA yB − xB yA) = 0 Fazendo: yA − yB = a , xB − xA = b, e xA yB − xB yA = c na última equação, obtemos:

ax+by+c=0 Casos Particulares
Como a e b não podem ser simultaneamente nulos, os possíveis casos particulares são: 1) a = 0 e b ≠ 0 (yA = yB e xA ≠ xB) c A equação fica da forma b y = − c ou y = − b = constante = yA = yB Trata-se de uma reta paralela ao eixox

2) b = 0 e a ≠ 0 (xA = xB e yA ≠ yB)
Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira

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A equação fica da forma a x = − c ou x = − c = constante = xA = xB a Trata-se de uma reta paralela ao eixo y

4.3 - Coeficiente angular (declividade) de uma reta
Seja r a reta de inclinação α em relação ao eixo x, definida pelos pontos A = (x1, y1) e B = (x2, y2). Chamamos decoeficiente angular (declividade) de r, o número real m = tg α. É claro que se α = 90o (reta vertical), m não está definido (tg 90o não existe) e se α = 0 (reta horizontal), m = tg 0o = 0. Analisemos, então, os casos restantes: 0o< α < 90o e 90o< α < 180o

0o< α < 90o
tg α =
∆y ∆x

=

y2 − y1 x2 − x1

Logo: m =

y2 − y1 x2 − x1

É claro que nesse caso m > 0

90o< α < 180o
tg (180o −α) =
∆y ∆x

=

y2 − y1 x1 − x2 y2 − y1 y −y = 2 1 x1 − x2 x2 − x1

tg α = − tg (180o − α) = − Logo: m =
y2 − y1 x2 − x1

É claro que nesse caso m < 0

Conclusão: Se A = (x1, y1) e B = (x2, y2) são 2 pontos distintos de uma reta r, não paralela ao eixo y (isto é : x2 ≠ x1), então o seu coeficiente angular (ou declividade) é o número:
m=
∆y ∆x

=

y2 − y1 x2 − x1

Prof. SergioRicardo e Geovane Oliveira

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4.4 - Coeficiente angular de uma reta expressa por sua equação geral
Seja r a reta definida pelos pontos A = (x1, y1) e B = (x2, y2), cuja equação geral é a x + b y + c = 0. Se b = 0, r é vertical (m não está definido), de modo que resta considerar o caso em que b ≠ 0. Como A e B são pontos de r: a x1 + b y1 + c = 0 e a x2 + b y2 + c = 0.Daí, a x1 + b y1 + c = a x2 + b y2 + c = 0 ou a (x2 − x1) = − b (y2 − y1). Portanto:
y2 − y1 a = − x2 − x1 b

O coeficiente angular de uma reta r cuja equação geral é a x + b y + c = 0 (b ≠ 0), é dado por: m=−
a b

4.5 - Equação da reta que passa por um ponto e cujo coeficiente angular é conhecido
Consideremos uma reta r que passa por um ponto A = (xo, yo) e cujo coeficiente angular seja...
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