Geometria analítica - retas planos angulos

Páginas: 12 (2799 palavras) Publicado: 12 de abril de 2013
Retas

EQUAÇÕES DA RETA

1. Equação paramétrica da reta
Sejam (0,i,j,k) um sistema de coordenadas P(x, y, z) e A(x1, y1, z1) um ponto genérico e um ponto dado, respectivamente, da reta r, e v=ai+bj+ck um vetor de mesma direção de r.
Desenvolvendo a equação vetorial da reta r:
P=A+ t v,
x, y, z=(x1, y1, z1)+t(a, b, c)
(x,y,z)=(x1+at,y1+bt,z1+ct)
x=x1+aty=y1+btz=z1+ct

As equaçõesacima, nas quais a, b, e c não são todos nulos (v≠0), são denominadas equações paramétricas da reta r, em relação ao sistema de coordenadas fixado.
A reta r é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) determinados pelas equações paramétricas quando t varia no intervalo -∞,+∞.

2. Equação vetorial da reta
Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem direção de um vetor não nulo v. Para que umponto P do espaço pertença à reta r é necessário e suficiente que os vetores AP e v sejam colineares, isto é:
AP = tv
P-A=tv
P=A+tv

Porém, se P=(x,y,z), A=(x1, y1, z1) e v=(a, b, c) a equação fica:
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c)

Qualquer uma das equações descritas acima é denominada equação vetorial da reta r. O vetor v=(a, b, c) é chamado vetor diretor da reta r e t é denominadoparâmetro. Verifica-se que cada vetor de t corresponde a um ponto particular P, quando t varia no intervalo -∞,+∞ o ponto P descreve a reta.

3. Equação reduzida da reta
As equações simétricas da reta são:
x-x1a= y-y1b= z-z1c

Isolando as variáveis y e x e expressado-as em função de x obtemos:
y-y1b = x-x1a y-y1= ba (x-x1)y-y1= bax -ba x1y= bax -ba x1+y1 | z-z1c= x-x1az-z1= ca (x-x1)z-z1=cax -ca x1z= cax -ca x1+z1 |
Considerando

ba=m-ba x1+y1=n, | ca=p-ca x1+z1=q |
Encontramos as equações reduzidas da reta:
y=mx+n
z=px+q

4. Equação da reta que passa por dois pontos
A reta definida pelos pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) é a reta que passa pelo ponto A (ou B) e tem direção do vetor v=AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).

5. Equação simétrica da reta
Das equaçõesparamétricas, supondo a,b e c ≠ 0, temos que:
t= x-x1a
t= y-y1b
t= z-z1c
x-x1a= y-y1b= z-z1c

Estas equações são denominadas equações simétricas ou normais de uma reta que passa por um ponto A(x1, y1, z1) e tem a direção do vetor v=(a,b,c).
Se a reta é determinada pelos pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2), suas equações simétricas são:
x-x1x2-x1= y-y1y2-y1= z-z1z2-z1

Pois um vetor diretor é:v=AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

Com x2-x1≠0, y2-y1≠0 e z2-z1≠0.

Planos

DETERMINAÇÃO DE UM PLANO

Um plano é determinado por um ponto e por um vetor normal a ele. Nas formas de determinação de um plano estes elementos ficam bem evidenciados, pois o vetor normal n em todos os casos é o produto vetorial dos dois vetores representados no plano, e tais vetores são chamados vetores-base do plano.1. Plano determinado por um ponto e dois vetores
Existe apenas um plano que passa pelo ponto A e é paralelo aos vetores a e b não colineares. Para isso n=a ×b.
n

b

A
a



Considerando o segmento AO=x-x0i+y-y0j+(z-z0)k e os vetores a=axi+ayj+azk e b=bxi+byj+bzk, temos equação do plano determinada por:
axayazbxbybzx-x0y-y0z-z0=0

2. Plano determinado por três pontos
nExiste apenas um plano que passa por três pontos não colineares. Neste caso o vetor normal é n=AB ×AC

C

A

B

Considerando AO=x-x0i+y-y0j+(z-z0)k, AB=xb-xai+(yb-ya )j+(zb-za)k e AC=xc-xai+(yc-ya )j+(zc-za)k a equação do plano será dada por:
xc-xayc-yazc-zaxb-xayb-yazb-zax-x0y-y0z-z0=0

EQUAÇÕES DE UM PLANO

1. Equação vetorial do plano
Se dois vetores u e v são linearmenteindependentes (LI) e paralelos a um plano π, o par u,v é chamado par de vetores diretores de π, ou seja, os vetores u e v são vetores diretores de π. Esse par de vetores LI determina a direção do plano.
Considerando o ponto A pertencente ao plano π, um ponto X pertencerá a π se, e somente se, u,v, AX for linearmente dependente (LD). Dessa forma, se existem números reais λ e μ tais que AX=λu+μv,...
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