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Páginas: 14 (3425 palavras) Publicado: 21 de setembro de 2015
MODULO 1 - AULA 12

´
Aula 12 – Areas
de Superf´ıcies Planas

Superf´ıcie de um pol´ıgono ´e a reuni˜ao do pol´ıgono com o seu interior.
A figura mostra uma superf´ıcie retangular.

´
Area
de uma superf´ıcie ´e um n´
umero real positivo a essa superf´ıcie. A ´area
expressa a medida de uma superf´ıcie numa certa unidade. Vamos considerar
como unidade a superf´ıcie de um quadrado de lado u.

Seja oretˆangulo de dimens˜ao 5u e 3u.

A ´area dessa superf´ıcie ´e igual a 15.
Superf´ıcies congruentes
As superf´ıcies de duas figuras congruentes s˜ao denominadas congruentes se tˆem a mesma a´rea.
Na figura, os triˆangulos s˜ao congruentes e da´ı, ´area T1 = ´area T2 .

Superf´ıcies equivalentes
Duas superf´ıcies s˜ao denominadas equivalentes se tˆem a mesma a´rea.
Assim, as superf´ıcies dasfiguras 1 e 2 s˜ao equivalentes.
223

CEDERJ



 ´areafigura 1 = ´area



´areafigura 2 = ´area

T1

T1

+ a´rea
+ a´rea

T2

⇒ ´areafigura 1 = ´areafigura 2
T2

Vamos precisar de dois postulados para o estudo de ´areas de superf´ıcies
planas.
1) Postulado da adi¸

ao de ´
areas
Se a superf´ıcie de uma figura plana F ´e a reuni˜ao das superf´ıcies das figuras
F1 e F2 sem pontos interiorescomuns, ent˜ao a´reaF = a´reaF1 + a´reaF2 .
Na figura, a superf´ıcie F ´e a reuni˜ao das superf´ıcies F1 e F2 .

2) Postulado da unidade de ´
areas
A ´area da superf´ıcie de um quadrado ´e o quadrado da medida do lado.
Na figura, o quadrado de lado a tem ´area a2 .

Observa¸

oes:
1) Quando nos referirmos a` ´area de um quadrado, de um triˆangulo, etc.,
estamos nos referindo `a a´rea da respectivasuperf´ıcie.
2) Em um retˆangulo, dois lados adjacentes constituem a base e a altura e
s˜ao denominados dimens˜oes do retˆangulo.

CEDERJ

224

MODULO 1 - AULA 12

´
Area
de um retˆ
angulo
Teorema 1: A ´area de um retˆangulo ´e o produto da base pela sua altura.
Prova:
Considere um retˆangulo de base a, altura b e ´area AR .

Vamos considerar os quadrados de lados a, b e a + b.

Temos pelospostulados de a´reas que:
a2 + AR + AR + b2 = (a + b)2
⇒ a2 + 2AR + b2 = a2 + 2ab + b2
⇒ AR = ab
Teorema 2: Todo paralelogramo ´e equivalente a um retˆangulo de base e altura
respectivamente congruentes `as do paralelogramo.
Prova:
Seja o paralelogramo ABCD da figura.

Trace pelos v´ertices A e D as perpendiculares AE e DF `a reta suporte do
lado BC.
Vamos provar que ∆ ABE ≡ ∆ DCF.
De fato,
AB = CD(lados opostos de um paralelogramo)
Caso Especial
AE = DF (altura do paralelogramo)
225

CEDERJ

ent˜ao a a´rea do paralelogramo ABCD ´e equivalente `a a´rea do retˆangulo
AEFD, j´a que as a´reas s˜ao iguais.

Conseq¨uˆencias: Denotando por b e h as medidas da base e altura comuns,
vem:
AP = AR
⇒ AP = b · h
AR = b · h (Teorema 1)
Logo:
A ´area de um paralelogramo ´e igual ao produto da base pelaaltura.
´
Area
de um triˆ
angulo
Teorema 3: A ´area de um triˆangulo ´e igual a` metade do produto da base pela
altura.
Prova:
Considere o triˆangulo ABC de base b e altura h.

Trace AD e CD, respectivamente, paralelas aos lados BC e AB, da´ı temos o
paralelogramo ABCD.

Temos que ∆ ABC ≡ ∆ CDA, pois


 AD = BC
b·h
AP
=
AB = CD (LLL) ⇒ AT =

2
2

AC comum
j´a que A∆ABC = A∆CDA

CEDERJ

226 MODULO 1 - AULA 12

´
Area
de um losango
Teorema 4: A ´area de um losango ´e igual a` metade do produto das diagonais.
Prova:
Seja o losango ABCD de centro E cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, D e d.

A diagonal BD divide o losango em dois triˆangulos ABD e CDB.
Pelo postulado de adi¸c˜ao de a´reas vem:
AL = A∆ABD + A∆CDB =
⇒ AL = Dd
+ Dd
= Dd
4
4
2
Dd
⇒ AL = 2

d· D
2
2

+

d· D
2
2

´Area
de um trap´
ezio
Teorema 5: A ´area de um trap´ezio ´e igual a` metade do produto da altura
pela soma das bases.
Prova:
Seja o trap´ezio ABCD de bases b1 e b2 e altura h.

Podemos dividir este trap´ezio em dois triˆangulos que s˜ao: ∆ ADC e ∆ ABC
de mesma altura h.

ent˜ao
ATrap´ezio =

b2 · h b1 · h
(b1 + b2 )h
+
⇒ ATrap´ezio =
2
2
2
227

CEDERJ

´
Area
de um pol´ıgono regular
Teorema 6: A...
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