GAlista4

PARTE 1
1. Definir, analiticamente, um vetor no plano e no espaço. Exemplificar.
Os vetores são definidos pelas componentes que os representam num eixo cartesiano. Ex.: O vetor v=(1,2,3) é notado por v=1i+2j+3k onde i,j e k representam os vetores unitários que determinam os eixos x,y,z, sendo eles i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1).

2. Definir módulo e versor de um vetor. Exemplificar.
O módulo representa que comprimento de um vetor v=(a,b,c) é um número real não negativo, definido por |v|=(a^2+ b^2+ c^2)^(1/2)
V=(2,4,6)
|v|=(4+16+36)^(1/2)
|v|=(56) ^(1/2)
O versor de um vetor é definido pela forma u=v/|v|
V=(2,4,6)
|v|=(4+16+36)^(1/2)
U=(2,4,3)/(56) ^(1/2)
U=(2/(56) ^(1/2),4(56) ^(1/2), 3(56) ^(1/2)
3. Definir vetores, dado dois pontos no plano e no espaço.
O vetor v tem que origem no ponto A e termina no ponto B, é descrito por: v=B-A. v=AB >>> v= B-A
4. Como se define a multiplicação e adição de vetores por escalar? Exemplificar.
A soma dos vetores por escalar se define da seguinte maneira: v=(a,b,c), w=(d,e,f) então v + w = (a+d,b+e,c+f)
Se v=(a,b) é um vetor e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, por:
k.v = (ka,kb)
Um exemplo que se utiliza das duas propriedades:
2v+2w=(2a+2d,2b+2e,2c+2f)
5. Dê exemplos das propriedades da adição e multiplicação por escalar.
Propriedades da soma de vetores
1. Fecho: Para quaisquer u e v de R², a soma u+v está em R².
2. Comutativa: Para todos os vetores u e v de R²: v + w = w + v
Ex.:
v=(a,b,c), w=(d,e,f)

3. Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R²: u + (v + w) = (u + v) + w
Ex.:
(a+d,b+e,c+f)=(d+a,e+b,f+c)
4. Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0) em R² tal que para todo vetor u de R², se tem:
Ø + (v+w) = (v+w)
Ex.:
(a+d,b+e,c+f)+0=(a+d,b+e,c+f)

5. Elemento oposto: Para cada vetor v de R², existe um vetor -v em R² tal que: v + (-v) = Ø
Ex.:
(a,b,c)+(-a,-b,-c)= Ø

Propriedades do produto de escalar por vetor:
Quaisquer que sejam a e b escalares, v e w vetores:
1. 1 v = v
2. (ab) v = a (b v)