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COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROF. WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br Lista de Geometria Analítica – Distância entre pontos - GABARITO
1) Dados A(5,3) e B(-1,-3), seja C a interseção da reta AB com o eixo das abscissas. Calcule a razãoe determine o ponto C.
Solução. O ponto C situado no eixo das abscissas possui ordenada nula. Sua coordenada é (x, 0). A equação da reta que passa pelos pontos é a expressão da função afim y = ax + b.

Se y = 0 => x = 2. O ponto de interseção será C = (2,0).
Calculando as distâncias, temos:

. 2) Determine os pontos que dividem AB em quatro partes iguais, quando A(3,-2) e B(15,10).

Solução. Considere os pontos P, Q e R, nesta ordem, entre A e B. Como a divisão é em partes iguais, temos o ponto Q é médio de AB, P é médio de AQ e R, médio de QP. Temos:

i) . ii) . iii) .

3) (UFF) Considere os pontos A(3,2) e B(8,6). Determine as coordenadas de P, pertencentes ao eixo X, de modo que os segmentos e tenham o mesmo comprimento.
Solução. O ponto P é da forma (x, 0). Igualando as distâncias e , temos:
.
Logo, C = (8.7; 0)

4) (Unifesp – SP) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y, -x-y) e também pelas coordenadas (4 + y, 2x + y), em relação ao mesmo sistema de coordenadas. Determine xy.
Solução. Se o mesmo ponto é representado pelas duas expressões de coordenadas, então elas são iguais. Isto é as abscissas e as ordenadas são as mesmas. Igualando as coordenadas, temos:

.
5) Até que ponto o segmento de extremos e deve ser prolongado no sentido para que seu comprimento triplique?
Solução. O ponto C mostrado na figura é calculado pela proporção: , onde P e Q são pontos auxiliares que geram triângulos semelhantes. Temos:

i)

ii) . Logo, C = (– 6, 1).

6) Calcule o comprimento da mediana AM do triângulo cujos vértices são: A(0,0); B(3,7) e C(5,-1).
Solução. O ponto médio está sobre o lado BC. Logo, . O comprimento da mediana é a distância do