Gabarito P1 Cálculo 2

UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Cálculo II
Professor: Equipe de Cálculo II
Data: 21 de maio de 2013
1a prova unificada de Cálculo II – 2013.1
√
1. Um objeto move-se no espaço R3 , descrevendo uma curva de comprimento π. Ele parte do ponto ( 3, 0, 0) no
√
√ instante t = 0 e sua posição ao longo do tempo é dada por ( 3 cos t, 3 sin t, t). Sua posição final é:
√
(a) (0, 3, π/2)
√
(b) (− 3, 0, π)
√
(c) ( 3, 0, 2π)
√
(d) (0, − 3, 1)
√
(e) ( 15, π/2, 0)
√
(f) (3π/2, 0, 7)
2. Considere a curva C parametrizada por (t, 3t2 − 2t, t3 + 2), t ∈ R. Uma equação para o plano que passa pelo ponto (1, 1, 3) e é perpendicular à reta tangente à curva C neste ponto é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)

x + 4y + 3z = 14 x + 3y + 3z = 13
3x + y + 3z = 13
3x + y + 6z = 22 x + y + 3z = 11 x+y+z =5

3. A EDO x′′ + 2x′ + 5x = −2t sin(t) + 3et possui uma solução da forma:
(a) xp (t) = (A0 + A1 t) cos(t) + (B0 + B1 t) sin(t) + Cet
(b) xp (t) = e−t A cos(2t) + B sin(2t)
(c) xp (t) = et A cos(2t) + B sin(2t)
(d) xp (t) = et (A0 + A1 t) cos(t) + (B0 + B1 t) sin(t)
(e) xp (t) = 0
(f) nenhuma das demais alternativas
4. Um tanque contém inicialmente (em t = 0) 100 litros de água pura. Injetam-se no tanque 10 litros/hora de água com sal a uma concentração que varia com o tempo segundo a fórmula
2

C(t) = e−t kg/litro (para t medido em horas), e retiram-se 10 litros/hora da mistura resultante (assumida sempre homogênea). A função q(t), que representa a quantidade de sal no tanque ao longo do tempo, é solução da equação diferencial:
2
q
(a) q ′ = 10e−t − 10
100
q
(b) q ′ = 10 − 10
100
q
(c) q ′ = 10 − 10
100 + e−t2
2
2
(d) q ′ = 10e−t − qe−t
2

1 e−t − 10
−t2
100 + e
100 + e−t2
(f) nenhuma das demais alternativas

(e) q ′ = 10

Gabarito

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5. Escreva uma EDO de segunda ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes, com solução geral da forma x(t) = e2t (C1 cos 3t + C2 sin 3t), onde C1 e C2 são constantes