Gabarito P1 Calc4 2014 1

Páginas: 6 (1424 palavras) Publicado: 10 de junho de 2015
Instituto de Matemática - IM/UFRJ
Cálculo Diferencial e Integral IV - MAC248
Gabarito primeira prova - Escola Politécnica / Escola de Química - 01/04/2014
Questão 1: (3 pontos)
+∞

(a) [1 ponto] Dizer se a série
n=1

1
n(n+1)

converge ou diverge. No caso da série convergir, calcular o

(−3)n+1
πn

converge ou diverge. No caso da série convergir, calcular o

valor da soma.
+∞

(b) [1 ponto] Dizerse a série
n=0

valor da soma.
(c) [1 ponto] Considere a sequência {an }n∈N satisfazendo limn→+∞ |an | = π. Determinar o raio de
+∞

convergência da série de potências
n=0

an xn
.
n!

Solução:
(a) Observamos que

1
n(n+1)



1
,
n2

+∞

∀ n ≥ 1. Além disso

n=1

1
n2

converge já que é uma p−série
+∞

de Riemann com p = 2 > 1. Portanto, deduzimos do teste de comparação que
converge.
1
n(n+1)Para calcular a soma, observamos que

=

1
n



1
.
n+1

n=1

1
n(n+1)

Logo,

N

N
+∞
1
1 N +1 1
1
1
SN =
=

=1−
−→ 1 =
.
N
→+∞
N +1
n=1 n(n + 1)
n=1 n
n=2 n
n=1 n(n + 1)
+∞

(b) Observamos que
n=0

(−3)n+1
πn

= −3

+∞
n=0

−3
π

n

, o que corresponde a uma série geométrica de

razão − π3 . Como − π3 < 1, essa série converge e a sua soma é dada por
+∞

(−3)n+1
1
=
−3
πn
1+
n=0
(c) Usaremos oteste da razão. Se bn (x) =

an xn
,
n!

3
π

=−


.
3+π

temos, para todo x ∈ R,

|an+1 | |x|
π
1
|bn+1 (x)|
= lim
= |x| lim
= 0.
n→+∞ |an | n + 1
n→+∞ |bn (x)|
π n→+∞ n + 1
lim

Portanto a série converge absolutamente para todo x ∈ R; logo seu raio de convergência é
R = +∞.
Questão 2: (2.5 pontos)
(a) [2 pontos] Usar o método de soluções por séries de potências para resolver o seguinteproblema
de valor inicial:

y (x) + 2x y (x) + 2y = 0,
y(0) = 1, y (0) = 0.
Determinar o domínio de definição da solução y(x).
(b) [0.5 ponto] Calcular lim y(x).
x→+∞

Página 1 de 5

Cálculo Diferencial e Integral IV - MAC248
Gabarito primeira prova - Escola Politécnica / Escola de Química - 01/04/2014(continuação)

Solução:
(a) Primeiramente observamos que x = 0 é um ponto ordinário para a equaçãodiferencial
y + 2x y + 2y = 0. De fato, p = 2x e q = 2 são polinômios e portanto, são funções
analíticas em x = 0, ambas com raio de convergência infinito. Assim, procuraremos a
solução do problema usando a representação de y como uma série de potências em torno
do ponto x = 0, a qual também estará definida para todo x ∈ R.
Lembramos que valem as igualdades:
+∞

+∞

an x n ,

y(x) =
n=0

+∞

nanxn−1

y (x) =

(n + 2)(n + 1)an+2 xn .

e y (x) =

n=1

(1)

n=0

Usando as condições iniciais do problema e as relações acima, obtemos
y(0) = a0 = 1 e y (0) = a1 = 0.

(2)

Substituindo as 3 relações em (1) na equação diferencial é obtida a seguinte igualdade:
+∞

+∞

(n + 2)(n + 1)an+2 xn + 2
n=0

+∞

nan xn + 2
n=1

an xn = 0.

(3)

n=0

Agrupando convenientemente os termos da série (3) tem-se
+∞(n + 2)(n + 1)an+2 + 2(n + 1)an xn = 0,

2a2 + 2a0 +
n=1

de onde decorre a seguinte relação de recorrência:
a2 + a0 = 0 ⇐⇒ a2 = −a0 ,

(4)

2an
, n ≥ 1.
(5)
n+2
Agora procedemos com o cálculo dos termos de ordem par. Notamos o seguinte padrão
procedente da recorrência (4) - (5):
2a2
1
2a4
1
1
a2 = −a0 = −1, a4 = −
= , a6 = −
=−
, . . . , a2κ = (−1)κ , κ ∈ N.
4
2
6
2·3
κ!
Por outro lado, como a1 =0, todo os termos de ordem ímpar sempre se anulam de acordo
com a recorrência (4) - (5), ou seja, a2κ+1 = 0 para todo κ ∈ N.
(n + 2)(n + 1)an+2 + 2(n + 1)an = 0 ⇐⇒ an+2 = −

Pondo as relações encontradas para a2κ e a2κ+1 na primeira expressão de (1) obtemos que
a solução do problema é dada pela série de potências
+∞

y(x) =

(−1)κ 2κ
x ,
κ!
κ=0

x ∈ R.

(6)

(b) Lembramos que o desenvolvimento emsérie de potências da função f (x) = ex é dado por
+∞

x

e =


,
κ=0 κ !

x ∈ R.

Assim,
2

e−x =

+∞

(−x2 )κ +∞ (−1)κ x2κ
=
,
κ!
κ!
κ=0
κ=0

x ∈ R,

que coincide com o desenvolvimento da solução encontrada em (6). Portanto,
2

lim y(x) = lim e−x = 0.

x→+∞

x→+∞

Página 2 de 5

Cálculo Diferencial e Integral IV - MAC248
Gabarito primeira prova - Escola Politécnica / Escola de Química -...
Ler documento completo

Por favor, assinar para o acesso.

Estes textos também podem ser interessantes

  • Gabarito AP3 2014 1
  • Gabarito AP2 2014 1
  • Gabarito da AP3 de HPA 2014 1
  • AD2 Gabarito 2014 I 1
  • AP3 RedesCompI 2014 1 Gabarito
  • Gabarito ED espectroscopia 2014 1
  • AP3 ProgIII 2014 1 Gabarito
  • AP2 Genetica 2014 1 Com Gabarito

Seja um membro do Trabalhos Feitos

CADASTRE-SE AGORA!