Gabarito P1 Calc4 2014 1

Instituto de Matemática - IM/UFRJ
Cálculo Diferencial e Integral IV - MAC248
Gabarito primeira prova - Escola Politécnica / Escola de Química - 01/04/2014
Questão 1: (3 pontos)
+∞

(a) [1 ponto] Dizer se a série n=1 1 n(n+1) converge ou diverge. No caso da série convergir, calcular o

(−3)n+1 πn converge ou diverge. No caso da série convergir, calcular o

valor da soma.
+∞

(b) [1 ponto] Dizer se a série n=0 valor da soma.
(c) [1 ponto] Considere a sequência {an }n∈N satisfazendo limn→+∞ |an | = π. Determinar o raio de
+∞

convergência da série de potências n=0 an xn
.
n!

Solução:
(a) Observamos que

1 n(n+1) ≤

1
,
n2

+∞

∀ n ≥ 1. Além disso

n=1

1 n2 converge já que é uma p−série
+∞

de Riemann com p = 2 > 1. Portanto, deduzimos do teste de comparação que converge. 1 n(n+1) Para calcular a soma, observamos que

=

1 n −

1
.
n+1

n=1

1 n(n+1) Logo,

N

N
+∞
1
1 N +1 1
1
1
SN =
=
−
=1−
−→ 1 =
.
N
→+∞
N +1 n=1 n(n + 1) n=1 n n=2 n n=1 n(n + 1)
+∞

(b) Observamos que n=0 (−3)n+1 πn = −3

+∞ n=0 −3 π n

, o que corresponde a uma série geométrica de

razão − π3 . Como − π3 < 1, essa série converge e a sua soma é dada por
+∞

(−3)n+1
1
=
−3
πn
1+
n=0
(c) Usaremos o teste da razão. Se bn (x) =

an xn
,
n!

3 π =−

3π
.
3+π

temos, para todo x ∈ R,

|an+1 | |x| π 1
|bn+1 (x)|
= lim
= |x| lim
= 0. n→+∞ |an | n + 1 n→+∞ |bn (x)| π n→+∞ n + 1 lim Portanto a série converge absolutamente para todo x ∈ R; logo seu raio de convergência é
R = +∞.
Questão 2: (2.5 pontos)
(a) [2 pontos] Usar o método de soluções por séries de potências para resolver o seguinte problema de valor inicial:

y (x) + 2x y (x) + 2y = 0,
y(0) = 1, y (0) = 0.
Determinar o domínio de definição da solução y(x).
(b) [0.5 ponto] Calcular lim y(x). x→+∞ Página 1 de 5

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Solução:
(a) Primeiramente observamos que x = 0 é um ponto ordinário para a equação