Gabarito OBM 2010

1555 palavras 7 páginas
XXXII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
PRIMEIRA FASE – NÍVEL 3 (Ensino Médio)
GABARITO

GABARITO NÍVEL 3
1) E
6) C
11) E
16) D
21) E
2) B
7) B
12) C
17) E
22) C
3) E
8) D
13) D
18) A
23) B
4) E
9) D
14) A
19) C
24) E
5) D
10) B
15) D
20) B
25) C

Cada questão da Primeira Fase vale 1 ponto. (Total de pontos no Nível 3 = 25 pontos).
Aguarde a publicação da Nota de Corte de promoção à Segunda Fase no site: www.obm.org.br

1. Resposta

2. Resposta
Qualquer divisor positivo de deve ter a forma , com a, b e c inteiros, , e . Apenas é dessa forma. Cada um dos outros números possui um fator primo diferente de 2, 3 e 5.

3. Resposta
Somar os números de todas as faces visíveis é o mesmo que somar todos os números dos dois dados exceto os dois que estão em faces coladas, então a soma será , onde a e b são os números nas faces coladas. Essa soma é igual a , que pode assumir qualquer valor entre 12 (a = b = 4) e 18 (a = b = 1), portanto nunca será 19.

4. Resposta
Quando Ana andar 3/4 da escada, Beatriz terá andado 1/4 da mesma. Isso significa que Ana é três vezes mais rápida para descer do que Beatriz para subir. Quando Ana andar mais 1/4 da escada e terminar, Beatriz terá andado mais um terço disso, que é 1/12. Assim, Beatriz andou 4/12 da escada, então ainda terá que subir 8/12 = 2/3 dela.

5. Resposta
Os triângulos QSR e QTU são semelhantes. Então,

6. Resposta
Temos , mas podemos cancelar a diferença, que é diferente de zero, então .

7. Resposta
Para um número ser divisível por 6, seu algarismo das unidades deve ser par e a soma de seus algarismos deve ser divisível por 3. Como a soma dos cinco números é 11, que deixa resto 2 ao ser dividido por 3, concluímos que os dois números que devem ficar de fora devem deixar resto 0 e resto 2 na divisão por 3, pois há apenas um que deixa resto 1 na divisão por 3. As possibilidades para os dois algarismos excluídos são as seguintes:
0 e 2: sem

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