Funções

FUNÇÃO COMPOSTA
A função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C, formada pela junção das funções A e B. Matematicamente falando, temos que f: A → B e g: B → C, denomina a formação da função composta de g com f, h: A → C. Dizemos função g composta com a função f, representada por gof.

Exemplo 1

Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5, determinaremos:

a) g o f

(g o f)(x) = g(f(x))

g(x) = x² + 5 g(4x) = (4x)² + 5 g(4x) = 16x² + 5

(g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5

b) f o g

(f o g)(x) = f(g(x))

f(x) = 4x f(x² + 5) = 4 * (x² + 5) f(x² + 5) = 4x² + 20

(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 20

FUNÇÃO INVERSA
Para determinar se uma função possui inversa é preciso verificar se ela é bijetora, pois os pares ordenados da função f devem pertencer à função inversa f–1 da seguinte maneira: (x,y) ? f -1 ↔ (y,x) ? f.
Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-5,-3,-1,1,3} e a função A→B definida pela fórmula y = 2x – 1, veja o diagrama dessa função abaixo:

Então: f = { (-2,-5); (-1,-3); (0,-1) ; (1,1) ; (2,3)}

Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está associado a um elemento diferente no conjunto da imagem. Por ser bijetora essa função admite inversa.
A sua função inversa será indicada por f -1: B→A definida pela fórmula x = (y+1)/2. Veja o diagrama abaixo:

Então: f -1 = {(-5,-2); (-3,-1) ; (-1,0); (1,1) ; (3,2)}

O que é domínio na função f vira imagem na f -1 e vice-versa.

Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos.
Dada a função y = 3x – 5 determinaremos a sua inversa da seguinte maneira:

1º passo: isolar x. y = 3x – 5 y + 5 = 3x x = (y + 5)/3

2º passo: troca-se x por y e y por x, pois é mais usual termos como variável independente a letra x.

y = (x + 5)/3

Portanto, a função f(x) = 3x – 5 terá inversa igual a f –1 (x) = (x + 5)/3

Exemplo 1

Dada a função f(x) = x² a sua