Funções

GABARITO – LISTA 4 A. Gradiente e Derivada Direcional

1.
a)

Poder-se-á encontrar a notação de gradiente das seguintes formas: grad ( f ) ≡ ∇f ≡ ∇f

1   1 1 1 ˆ 1 ∇f =  − y.2.x −3 , 2  ⇒ ∇f (−2, 2) =  ,  = i + ˆ j x  4  2 4 2 x2 curvas de nível: y = 2

b)

∇f (−2, 0) = ( −4, 0 ) x2 y 2 + = 1 ⇒ elipse 22 12

curvas de nível:

c)

∇f (2, −1) = ( 4, 2 )

curvas de nível:

x2

( 5)

2

−

y2 = 1 ⇒ hiperbole não toca eixo y; cruza x em ± 5 5

2.

a) ∇f = (−3, 3,5) plano π : −3x + 6 + 3 y − 3 + 5 z − 5 = 0 3 3 2 π : −3 x + 3 y + 5 z − 2 = 0 ⇒ z = x − y + 5 5 5
b) paramétrica da reta:  x = −3t + 6   y = 3t − 3  z = 5t − 5 
3. a) ∂f ( p ) ∂u = ∇f iu0 ; produto escalar (ou interno)

u  2 3  1  −1 3  ∇f ( p ) =  ,  ; u = 22 + 32 = 13; u0 = = , .(2,3) = u  13 13  13  4 4 ∂f ( p ) 1  −1 3  7  −1 3  1 (2,3) = ∴ = ∇f iu0 =  , i  .2 + .3  = 4  4 13 ∂u 13  4  4 4  13
b)
4. ˆ ˆ a) ∇f = 6i + 10 ˆ − 16k ; ∇f ( p ) = 36 + 100 + 256 ≅ 19,80 j ˆ ˆ ˆ ˆ ∇f = 2i + 4 ˆ + 6k = 2.(1i + 2 ˆ + 3k ); ∇f ( p ) = 14 ≅ 3, 74 j j ˆ ˆ dada a Combinação Linear de vetores ∇f = 1i + 2 ˆ + 3k j ∂f ( p ) ∂u = −1 6

b)

5. a)

f x (1, 2) =

275 7

b)

f y (1, 2) = ∂f ( p )

−250 7

c)

−225 considere o vetor que parte e origem o em direção ao ponto P = (1,2) ∂o 7 como OP = o = (1 − 0, 2 − 0) = (1, 2) =

B. Derivadas parciais de ordem superior

1. a) b) f x = 6 x; f y = 4 y; f xx = 6; f yy = 4; f xy = 0 = f yx ∂f ∂f = (2 x − 3) cos( x 2 − 3 xy ); = (−3 x) cos( x 2 − 3 xy ) ∂x ∂y 2 ∂ f = 2 cos( x 2 − 3 xy ) − (2 x − 3) 2 sen( x 2 − 3 xy ) 2 ∂x ∂2 f = (−3x)(−3 x)(−sen( x 2 − 3 xy )) ∂y 2
∂2 f ∂2 f = (2 x − 3)(−3 x)(−sen( x 2 − 3 xy )) = = (−3 x)(2 x − 3)(−sen( x 2 − 3 xy )) ∂x∂y ∂y∂x c) ∂f ∂f = 2 xy 2 .e2 xy + x 2 y 2 .2 y.e2 xy ; = 2 yx 2 .e 2 xy + x 2 y 2 .2 x.e2 xy ∂x ∂y
∂2 f = 2 y 2 .e2 xy + 2 xy 2 .2 y.e2 xy + 2 xy 2 .2 y.e 2 xy + x 2 y 2 .2 y.2 y.e 2 xy ∂x 2 ∂2 f = 2 x 2 .e2 xy + 2 yx 2 .2 x.e2 xy