Funções de várias variáveis

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE BIOFÍSICA CARLOS CHAGAS FILHO

MÉTODOS MATEMÁTICOS
EM BIOLOGIA
CURSOS DE BIOFÍSICA E BIOMEDICINA

2007
Gilberto Weissmueller, Nice Americano da Costa e Paulo Mascarello Bisch

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
INTRODUÇÃO
As grandezas físicas, geralmente, dependem de mais de uma variável independente. Exemplos simples:
A área de um retângulo de lados x e y, depende, tanto de x, quanto de y, pois

S  xy
O volume de um paralelepípedo de lados x, y e z

V  xyz
O volume V de um gás ideal depende da temperatura T, do número de moles n e da pressão P:

T
V  nR
P

FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Definições
Função de duas variáveis. Se a cada par ordenado (x,y) de valores das variáveis x e y, tomados dentro de um domínio de definição D, corresponde um valor bem definido da variável z, diz-se que z é uma função de duas variáveis independentes x e y, definidas no domínio D.
Designa-se essa função como

z  f ( x, y )

Domínio de definição. Chama-se domínio de definição da função z=f(x,y) ao conjunto de pares (x,y) para os quais a função está definida.
Uma função de duas variáveis pode ser representada analiticamente, na forma de uma tabela ou ainda graficamente.

z  xy

2

X 0

2

3

1

0

2

3

3

0

18 27

5

0

50 75

y

Os valores da função z são determinados numa tabela no cruzamento dos valores de x, indicados na primeira linha, com os de y na primeira coluna. Os domínios de definição de uma função de duas variáveis constituem partes do plano xy; delimitadas por algumas curvas, ou podem ser o plano inteiro.
As curvas que delimitam o domínio são chamadas de fronteira. y Z=f(x,y)

z

(x2,y2)
(x3,y3)

(x1,y1)
(xi,yi)

y

x

(x,y)

x fronteira y

fronteira

y

D

D x x

y

z  x  3y

z está definida para todos os valores (x,y); D é todo o plano

x

z está definida para

2  x2  y2  0

D é