função exponencial

Matem´tica I a Edezio 1

Fun¸˜o Exponencial - Prof. Ed´zio ca e

Suponhamos que uma popula¸˜o tenha hoje 100.000 habitantes e que ca haja um crescimento populacional de 2% ao ano. Assim:
• daqui a 1 ano o n´mero de habitantes ser´ u a y1 = 100.000 + (0, 02) · 100.000 = 100.000(1 + 0, 02);
• daqui a 2 anos o n´mero de habitantes ser´ u a y2 = y1 + 0, 002y1 = y1 (1 + 0, 002) = 100.000(1, 02)2 ;
• daqui a 3 anos o n´mero de habitantes ser´ u a y3 = y2 + 0, 02y2 = y2 (1 + 0, 02) = 100.000(1, 02)3 .
De um modo geral, se tivermos uma grandeza com valor inicial y0 e que cres¸a a uma taxa igual a k por unidade de tempo, ent˜o, ap´s um tempo x, c a o medido na mesma unidade de k, o valor dessa grandeza y ser´ dado por: a y = y0 (1 + k)x
Tal express˜o, para 1 + k > 0 e 1 + k ̸= 1, ´ conhecida como fun¸˜o a e ca exponencial. Quando k > 0 (crescimento positivo) ou k < 0 (crescimento negativo ou decrescimento). Consideremos as seguintes fun¸˜es: g(x) = 2x e co f (x) = (0, 5)x . Vamos atribuir a x os valores da tabela abaixo:

x g(x) = 2x
-3
1/8
-2
1/4
-1
1/2
0
1
1
2
2
4
3
8

f (x) = (0, 5)x
8
4
2
1
1/2
1/4
1/8

Matem´tica I a Edezio 2

Os gr´ficos dessas fun¸˜es aparecem na figura abaixo: a co

Verifica-se que, quando a base (+k) ´ maior que 1, o padr˜o gr´fico da e a a fun¸˜o exponencial segue o de g(x), e que, quando a base (1 + k) est´ entre ca a
0 e 1, o padr˜o gr´fico da fun¸˜o exponencial segue o de f (x). a a ca Exemplo:Uma cidade tem hoje 20.000 habitantes, e esse n´mero cresce a u uma taxa de 3% ao ano. Ent˜o: a u a (a) O n´mero de habitantes daqui a 10 anos ser´ y = 20.000(1, 03)10 =
26.878.
(b) Se daqui a 10 anos o n´mero de habitantes fosse igual a 30.000 a taxa u de crescimento anual seria dada por
30.000 = 20.000(1 + k)10
(1 + k)10 = 1, 5 elevando ambos os membros a expoente
[(1 + k)10 ]1/10
(1 + k)1
1+k
k = 0, 0414

=
=
=
=

1
, teremos
10
[1, 5]1/10