funçoes

Matrizes
Defini¸c˜ao
Defini¸c˜ao. Uma matriz m × n ´e uma tabela de mn n´umeros dispostos em m linhas e n colunas
A =
2
6664 a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 ... amn
3
7775
.
Embora a rigor matrizes possam ter quaisquer tipos de elementos, desde que seus elementos sejam todos do mesmo tipo, neste curso em n´ıvel introdut´orio lidaremos apenas com matrizes cujos elementos s˜ao n´umeros reais; por esse motivo, tais matrizes s˜ao chamadas de matrizes reais. A defini¸c˜ao matematicamente precisa para uma matriz real A, m × n, ´e a seguinte: A ´e uma fun¸c˜ao A : [1,m] × [1, n] ! R; ao inv´es da nota¸c˜ao usual para fun¸c˜oes aplicadas em elementos A(i, j), para matrizes usa-se a nota¸c˜ao indexada Aij . Quando se fala de matrizes, esta defini¸c˜ao ´e implicitamente entendida, mas ningu´em se refere a matrizes como fun¸c˜oes de modo expl´ıcito. Ficamos satisfeitos com a compreens˜ao intuitiva e a f´acil visualiza¸c˜ao proporcionada pela defini¸c˜ao pouco rigorosa anterior.
Exemplo 1.
A =
2
664
4 3 
7 −1 3
5 0 −27
−2
p
2 106
3
775
´e uma matriz 4 × 3.
A i-´esima linha de A ´e  ai1 ai2 ... ain

onde i = 1, ...,m, isto ´e, i pode ser qualquer n´umero entre 1 e m.
A j-´esima coluna de A ´e 2
6664
a1j a2j ... amj 3
7775
. onde j = 1, ..., n, isto ´e, j pode ser qualquer n´umero entre 1 e n.
Exemplo 2. A 2a linha da matriz A do Exemplo 1 ´e

7 −1 3

.
1
A 3a coluna de A ´e 2
664

3
−27
106
3
775
.
Matrizes em geral s˜ao denotadas na forma
A = (aij)m×n, ou simplesmente
A = (aij), quando n˜ao h´a necessidade de enfatizar a dimens˜ao m × n da matriz.
Existem duas nota¸c˜oes padr˜ao para um elemento individual de uma matriz: aij ou [A]ij representam o elemento da matriz A que ocupa a posi¸c˜ao ij, ou seja, est´a na linha i e na coluna j.
Duas matrizes A = (aij)m×n e B = (blk)l×k s˜ao iguais se e somente se elas tˆem o mesmo tamanho, isto
´e, m = l e n = k, e se os elementos