Funçoes inversas

Função inversa
Em matemática, a função inversa de uma função [pic]é, quando existe, a função [pic]tal que [pic]e [pic](id=função identidade). Ou seja, o que era domínio na função original (o conjunto X neste caso, ilustrado na figura abaixo) vira imagem na função inversa, e o que era imagem na função original (Y, neste caso - ilustrado na figura abaixo) vira domínio.
[pic]
Uma função que tenha inversa diz-se invertível. Se uma função for invertível, então tem uma única inversa. Uma condição necessária e suficiente para que uma função seja invertível é que seja bijectiva.
Se [pic]for uma função injectiva e sobrejectiva de [pic]em [pic]ao mesmo tempo, então [pic]é também uma função bijectiva de [pic]em [pic]. Consequentemente, tem uma inversa de [pic]em [pic]. Por abuso de linguagem, também se designa esta função por inversa de [pic], embora o seu domínio não seja, em geral, o conjunto [pic].
Somente as funções bijetoras apresentam inversa, pois qualquer número do domínio tem um único correspondente no contra-domínio (injetora) e este tem todos os seus valores relacionados uma única vez (sobrejetora). Assim, podemos estabelecer uma relação inversa, transformando o contra-domínio em domínio, e o domínio em contra-domínio de uma função. A expressão que representa essa troca é chamada de função inversa, e é representada por f -1(x). Ex: 1. [pic] 2. [pic] 3. [pic] 4. [pic] 5. Portanto, [pic]

Inversa à direita ou à esquerda
Dadas as funções f:A→B e g:B→A, diremos que g é uma inversa à esquerda quando a função composta g O f = idA:A→A (id=função identidade), ou seja, quando f(g(y)) = y para todo x pertencente ao conjunto A. Uma função f possui inversa à esquerda se, e somente se, for injectiva. [1] . Por exemplo, a função f: N --> N dada por f(x) = 2x, que é injetiva mas não sobrejetiva, tem como inversa g(x)=x/2, porque a função composta g O f = (2x)/2 = x , que é a função identidade.
Dadas as funções g:B→A e f:A→B e , diremos que g é uma