Fundamentos da Matematica

Fundamentos da matemática
Denomina-se fundamentos da matemática a uma área de estudo que abrange tanto problemas da filosofia da matemática, como da lógica e da matemática. Ela teve a sua origem nas últimas décadas do século XIX e desenvolveu-se durante as primeiras décadas do século XX, como uma resposta à crise dos fundamentos gerada pelos paradoxos. Do ponto de vista lógico, tem como questão fundamental as relações entre a lógica e a matemática. Do ponto de vista matemático abrange pesquisas nas áreas de lógica matemática, teoria de conjuntos, teoria dos tipos, teoria de modelos, teoria da prova, teoria da recursão e topologia.
História
O matemático Georg Cantor começou as suas pesquisas estudando séries trigonométricas, mas logo foi direcionado por elas a elucidar o conceito de conjunto. Dessa maneira ele deu origem à teoria de conjuntos, desenvolvendo a primeira teoria matemática dos números infinitos e o início da topologia dos conjuntos de pontos surgida a partir das questões do Analysis Situs, agora colocadas no contexto da teoria de conjuntos . Richard Dedekind, em constante contato com Cantor, utiliza os desenvolvimentos da teoria de conjuntos na sua elucidação do conceito de continuidade e na sua definição dos números reais. Como expressa Hilbert com referência a Dedekind:
"O matemática viu-se forçado a ser um filósofo, para poder seguir sendo matemático"
Em outro sentido, Gottlob Frege afirma que a matemática deve fortalecer as suas bases lógicas, colocando claramente sua posição no livro Fundamentos da aritmética e depois nas Leis fundamentais da aritmética , onde começa com um desenvolvimento da lógica matemática para passar á matemática, como maneira de justificar a unidade de ambas.
Surgimento de Paradoxos
Como resposta à teoria de Cantor dos ordinais transfinitos, Burali-Forti anuncia que nessa teoria pode ser derivada uma contradição, posteriormente denominada paradoxo de Burali-Forti . Em 1902, Bertrand Russell escreve uma carta para