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FUNÇÕES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS

Prof. CALIXTO

Introdução

Uma função definida no domínio A, tomando valores pertencentes ao contra-domínio B, é dita sobrejetora se sua imagem coincide com o conjunto B, ou seja, se todos os elementos do contra-domínio acham-se por ela relacionados a algum elemento de seu domínio.
Assim sendo, a função f(x) = 2x, definida no conjunto dos reais e tomando valores em ]0, + ∞[ é sobrejetora, pois este conjunto coincide com sua imagem. Redefinindo o conjunto imagem para, por exemplo, o intervalo [0, + ∞[, torna-se não sobrejetora, pois o valor 0 (zero) não encontra seu correspondente no domínio desta função.
A função que possui cada elemento de sua imagem relacionado a um único elemento de seu domínio é chamada injetora.
Desta forma, a função f(x) = x3 é injetora, pois se f(m) = f(n), isto é, se m3 = n3, então m = n. Já a função f(x) = x2, definida nos reais não é injetora, pois a implicação anterior não ocorre, uma vez que f(– 3) = f(3) = 9. Ou seja, o elemento 9 está por ela relacionado a mais de um elemento do seu domínio, a saber, – 3 e 3. Redefinindo o seu domínio para, por exemplo, o conjunto dos reais positivos, torna-se então injetora. Graficamente fica fácil comprovar se uma dada função é ou não injetora: basta observar se qualquer linha horizontal intercepta o seu gráfico em mais de um ponto.
A função que é sobrejetora e injetora é denominada bijetora.
É possível redimensionar domínio e imagem de uma função para que se torne bijetora se não o for. Esta prática é muito comum quando desejamos torná-la inversível. Isto porque trata-se de uma condição necessária e suficiente para que ela assim seja.

Funções trigonométricas

Se observarmos os gráficos das funções trigonométricas seno, co-seno e tangente, verificaremos que nenhuma delas é injetora, a não ser que restrinjamos adequadamente os seus domínios. Se, baseado neste procedimento, exceto para a tangente, houver uma redefinição de seus contra-domínios, podemos torná-las