Funcao4

47

6.

FUNÇÃO QUADRÁTICA

6.1. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES
Na figura abaixo, seja a reta r e o ponto F de um determinado plano, tal que F não pertence a r . Consideremos as seguintes questões:
• Podemos obter, nesse plano, um ponto cuja distancia a F seja igual a sua distância a r?
• Existem outros pontos com essa propriedade?
• Como determinar todos esses pontos?

48

É fácil ver que a resposta às duas primeiras perguntas é afirmativa.
O conjunto de todos esses pontos é uma curva que chamamos de parábola.
Para responder à terceira pergunta veremos uma construção com régua e compasso de uma parábola:
Usaremos a notação d ( P , F ) e d ( P, r ) para indicar as distâncias de um ponto P a um ponto F e de um ponto P a uma reta r, respectivamente.
Consideramos os semi-planos α e β determinados por

r, tal que F ∈β

(Ver figura ao lado).
Se P é um ponto que pertence a α , então d ( P, F ) > d ( P, r ) , o que nos garante que a parábola está contida no semi-plano β .
Seja

D = d ( F ,r) .

Traçando-se

segmento perpendicular à reta

r,

um pelo ponto F, o ponto médio V deste segmento satisfaz d (V , F ) = d (V , r ) = D / 2 .
Este ponto V pertence, portanto, à parábola.
Vejamos os demais.
Consideremos uma reta s, paralela a

r,

contida no semi-plano β .
Se d (r , s) < D / 2 , é fácil observar que para todo ∀ P ∈ s , d ( P, F ) > d ( P, r ) .

49

Se d (r , s) > D / 2 , s contém exatamente dois pontos, P1 e P2 , da parábola que podem ser obtidos da seguinte forma.
Centralizamos em F um compasso com abertura igual à distancia de r

a

s.

Marcamos assim dois pontos P1 e P2 em s tais que d ( P1 , F ) = d ( P1 , r ) e d ( P2 , F ) = d ( P2 , r ) .
(Ver figura ao lado)
Os pontos P1 e P2 são simétricos em relação à reta

t

(perpendicular a

r

passando por F). Quanto mais s se afasta de V, mais os pontos obtidos se afastam de r e de t.

São elementos da parábola:
O foco da parábola: ponto fixo F.
A diretriz da parábola: a reta fixa r.
O eixo de simetria da parábola: reta