Funcões polinomiais

Páginas: 11 (2728 palavras) Publicado: 30 de setembro de 2012
Funções potência
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo: capítulo 9 - p. 95
Definição: Uma função potência é da forma f x  x n , onde n é um número real.
f x  x 2 , g x  x 3 , h x  x 2/3 e l x  x 5 são exemplos de funções potência.
 Vamos caracterizar algumas funções potência, de acordo com seus expoentes.
 Expoente natural par. Vamos considerar as funções f x  x 2 , g x  x 4 e h x  x 6cujos
gráficos são apresentados a seguir.

y8

6

6

4

4

4

2
-2

y8

6

-3

y8

2

2

-1

1

2

3

x

-3

-2

-1

1

2

3

x

-3

-2

-1

1

2

3

x

Para entender o comportamento dos gráficos, escolha alguns valores para x e determine os
valores correspondentes para y, em cada uma das funções.
Observe que todas têm umformato mais ou menos parecido. O domínio é R.
As imagens são sempre positivas ou, para x  0, a imagem é zero. Isto significa que
Im f  Im g  Im h  0, Ý .
Todas "decrescem" para x  0 e "crescem" para x  0.
Para valores de x que são menores que 1 ou maiores que 1, quanto maior o expoente, maior
a imagem. Para valores de x entre 1 e 1, quanto maior o expoente, menor a imagem.
Essas funçõessão pares, pois f x  f x , g x  g x e h x  h x para todo x do
domínio. Observe que o gráfico, em cada caso, é simétrico em relação ao eixo y.
 Expoente natural ímpar. Vamos considerar as funções f x  x 3 e g x  x 5 cujos gráficos
são apresentados no mesmo sistema de eixos a seguir.

y

y
4
2

-2

4
2

-1

1
-2
-4

2

x

-2

-1

1
-2

2

x

-4

Paraentender o comportamento dos gráficos, escolha alguns valores para x e determine os
valores correspondentes para y, em cada uma das funções.
Observe que elas têm um formato mais ou menos parecido. O domínio é R.
As imagens são sempre positivas para x  0, negativas para x  0 ou, para x  0, a imagem é
zero. Isto significa que Im f  Im g  R.
As duas funções são "crescentes" em todo o seudomínio.
Para valores de x que são menores que 1 ou que estão entre 0 e 1, quanto maior o
expoente, menor o valor da imagem; para valores de x que são maiores que 1 ou que estão
entre 1 e 0, quanto maior o expoente, maior o valor da imagem.
1

Essas funções são ímpares, pois f x  f x e g x  g x para todo x do domínio.
Observe que o gráfico, em cada caso, é simétrico em relação à origem.
Expoente fracionário. Considere as funções f x  x 1/2 e g x  x 1/3 cujos gráficos são
apresentados a seguir. Proceda de forma semelhante ao que fizemos nos casos anteriores e
escreva algumas características de cada função. É bom lembrar que toda potência de
expoente fracionário pode ser escrita como uma raiz. No caso das funções consideradas,
temos f x  x 1/2  x e g x  x 1/3  3 x .

y3

y3
2

2

1

1

-4

-2

2

4

x

-1
-2
0

2

4

6

8

10

x

-3

 Expoente inteiro negativo. Considere as funções f x  x

2

eg x  x

3

cujos gráficos são

apresentados a seguir. Proceda de forma semelhante ao que fizemos nos casos anteriores e
escreva algumas características de cada função. É bom lembrar que o expoente negativo
significa"inverso". No caso das funções consideradas, temos f x  x 2  12 e
x
g x  x 3  13 .
x

y5

y
4

4
2

3
2
-3
1
-4

-2

-2

-1

1
-2

2

4

x

2

3

x

-4

Importante: Funções obtidas de funções potências através da multiplicação ou da divisão por
uma constante.
1) Consideremos as funções f x  x 3 e g x  2x 3 . Obtemos o gráfico da g simplesmentemultiplicando as imagens da f por 2. Veja no sistema abaixo os gráficos da f e da g. Saliente o
gráfico da g com caneta azul.

2

y
4

2

-2

-1

1

2

x

-2

-4

2) Consideremos as funções f x  x 3 e g x  1 x 3 . Obtemos o gráfico da g simplesmente
2
3
dividindo as imagens da f por 2. É bom observar que g x  1 x 3  x . Veja no sistema
2
2
abaixo os gráficos da f e...
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