Fun Es VariasvariaveisII

Plano tangente a uma superficie: G(f).
O plano tangente ao gráfico de uma função f(x,y) num ponto é o plano que contem todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto. Se todas as retas tangente a esse ponto não são co-planares, então dizemos que o plano tangente não existe.
Seja f : A  R 2  R

uma função diferençável no ponto (x0,y0)

Equação do plano tangente a o gráfico G(f) no ponto
(x0,y0,z0), z0=f(x0,y0)

( x  x0 ) f x0  ( y  y0 ) f y0  1.( z  z0)  0 f x0 

f
( x0 , y0 )
x

f y0 

f
( x0 , y0 )
y

Plano tangente a uma curva.
A interseção do plano e
A curva z=f(x,y) é justamente o ponto
(x0,y0)

http://www.mat.uc.pt/~picado/geomdif/anima/planotangente.html

Derivada direcional
Definição: Seja

f : A  R n  R uma função real

de variável vetorial
Seja r0=(x10, x20,..., xn0) ϵ A, e u um vetor unitário de Rn.
A derivada direcional de f no ponto r é

f (r0  hu )  f (r0 )
Dfu  lim h0 h Se o limite existe. r 0  h u  r Define uma reta L
Que passa por r0 na direção u .

Derivada direcional
Seja

f : A  R3  R , e ro=(x0,y0,z0), e u=(u1,u2,u3)

f ( x0  hu1 , y0  hu2 , z0  hu3 )
Dfu  lim h0 ( h f ( x0 , y0 , z0 )
)
h
Conforme h0, r  r0

Derivada direcional
Seja f : A  R 2  R , e ro=(x0,y0), e u=(u1,u2)

f ( x0  hu1 , y0  hu2 )  f ( x0 , y0 )
Dfu  lim h0 (
)
h u ro+ h u = r ro Conforme h0, r  r0

Derivada direcional

Du f 

f

Derivada direcional

É a taxa de variação de f em relação à
u distancia no ponto r0, ao longo do vetor unitário u .
Particularizando para u = e1= (1,0) = i

De f  lim h0
1

f (r0  he1 )  f (r0 ) f

|r0 h x

Particularizando para u = e1 = (0,1) = j

De f  lim h0
2

f (r0  he2 )  f (r0 ) f

|r0 h y

Derivada parcial como taxa de variação.
f
A derivada parcial ( x0 , y0 ) é a taxa de variação de f ao longo
x

da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e1 = (1, 0),
f
A derivada parcial y ( x0 , y0 ) é a taxa de variação de f ao longo

da reta que passa pelo ponto