Fun Es De Duas Vari Veis CalB

Funções de duas variáveis
(Gráficos e curvas de nível)

Centro Universitário de Várzea Grande - MT
Disciplina: Cálculo Diferencilal e Integral B
Professora : Aline Brum Seibel

Gráficos de funções de duas variáveis
 Definição: Se 𝑓 é uma função de duas variáveis com domínio 𝐷, então o gráfico de 𝑓 é o conjunto de todos os pontos (𝑥, 𝑦, 𝑧) em 𝑅 3 tal que
𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 e (𝑥, 𝑦) pertença a 𝐷.

 Em geral, a representação gráfica de uma função de duas variáveis pode ser bastante complexa sem o auxílio de uma ferramenta computacional.
Porém, há alguns casos que são importantes de serem lembrados.
Vejamos quais são:
 Superfície: Plano – Equação : 𝐳 = 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄

 Superfície: Parabolóide elíptico : – Equação : 𝐳 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒚𝟐 + 𝒄

 Superfície: Parabolóide hiperbólico – Equação : 𝐳 = 𝒂𝒙𝟐 − 𝒃𝒚𝟐 + 𝒄

 Superfície Esférica – Equação : 𝐳 =

𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒓 𝟐

 Superfície Cônica – Equação : 𝐳 =

𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐

Curvas de Nível
 Definição: As curvas de nível de uma função 𝑓 de duas variáveis são aquelas com equação 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑘, onde 𝑘 é uma constante (na imagem de 𝑓).

Curvas de níveis da função 𝑧 = 𝑥 3 + 𝑦 3 − 3𝑥 − 3𝑦 (seu gráfico aparece no slide anterior)

Exemplo 1:
 Esboce as curvas de nível da função 𝒛 = 𝟔 − 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 para os valores
𝒌 = −𝟔, 𝟎, 𝟔, 𝟏𝟐.
 Resolução: As curvas de nível são:
 𝟔 − 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝒌 ou 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + (𝒌 − 𝟔) = 𝟎
 Para 𝒌 = −𝟔 teremos a reta 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎
 Para 𝒌 = 𝟎 teremos a reta 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟔 = 𝟎
 Para 𝒌 = 𝟔 teremos a reta 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟎
 Para 𝒌 = 𝟏𝟐 teremos a reta 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟔 = 𝟎

Exemplo 2
 Esboce as curvas de nível da função 𝒛 =
𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑.
 Resolução: As curvas de nível são:


𝟗 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 para os valores

𝟗 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝒌 ou 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟗 − 𝒌𝟐

 Essa é uma família de circunferências com centro em (0,0) e raio 9 − 𝑘 2 . Os casos 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑 são mostrados na figura abaixo:

Bibliografia
