Funções

Páginas: 16 (3925 palavras) Publicado: 23 de setembro de 2012
1. Funções

2.1 Definição

Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas. Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um elemento y, também denotado por ƒ(x)
Considere dois conjuntos: oconjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:

diz-se que a função f de X em Y que relaciona cada elemento x em X, um único elemento y = f (x) em Y.[3]
Outra maneira de dizer isto é afirmar que f é uma relação binária entre os dois conjuntos tal que:
1. f é unívoca: se y = f (x) e z = f (x), então y = z;
2. f é total: para todos x em X, existe um y em Y tal que y = f(x).
Se a segunda condição é atendida, mas a primeira não, temos uma função multivalorada, o termo função multívoca é, por vezes utilizado na mesma acepção.
Se a primeira condição é atendida, mas a segunda não, temos uma função parcial.
Exemplo:

Esta é uma função (no caso, uma função discreta). Ela pode ser definida explicitamente pela expressão:

2.2 Domínio e imagem
O domínio deuma função também é chamado de campo de definição ou campo de existência da função, e é representado pela letra "D"
O conjunto Imagem é representado por "Im", e cada ponto que a flecha chega é chamado de imagem.

Exemplo:
Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12}criamos a função f: A —> B.definida por f(x) = x + 5 que também pode ser representada por y = x + 5. Arepresentação, utilizando conjuntos, desta função, é:


O conjunto A é o conjunto de saída e o B é o conjunto de chegada.

 o domínio é D = {1, 4, 7}, o contra-domínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem é Im = {6, 9, 12} e:
- a imagem do ponto x = 1 é y = 6, indicado por f(1) = 6;
- a imagem do ponto x = 4 é y = 9, indicado por f(4) = 9;
- a imagem do ponto x = 7 é y = 12, indicadopor f(7) = 12.

2.3 Funções crescente e decrescente

Função crescente - Sendo x1 e x2 elementos quaisquer de um conjunto A C D(f), com x1 > x2 a função é crescente para f(x1) > f(x2), isto é aumentando valor de x, aumenta o valor de y.
Função decrescente- Sendo x1 e x2 elementos quaisquer de um conjunto A C D(f), com x1 > x2 a função é decrescente para f(x1) < f(x2),isso é aumentando x, diminui o valor de y.



Exemplo:
Função decrescente
f(x) = 3x



Função crescente
f(x) = –3x 




2.4 Funções Compostas

 A função composta pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C, formada pela junção das funções A e B. Matematicamente falando, temos que f: A → B e g: B → C, denomina a formação da função compostade g com f, h: A → C. Dizemos função g composta com a função f, representada por gof.

Exemplo 1

Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5, determinaremos:

a) g o f

(g o f)(x) = g(f(x))

g(x) = x² + 5
g(4x) = (4x)² + 5
g(4x) = 16x² + 5

(g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5

b) f o g

(f o g)(x) = f(g(x))
f(x) = 4x
f(x² + 5) = 4 * (x² + 5)
f(x² + 5) = 4x² + 20

(f og)(x) = f(g(x)) = 4x² + 20

2.5 Funções inversas

Para determinar se uma função possui inversa é preciso verificar se ela é bijetora, pois os pares ordenados da função f devem pertencer à função inversa f–1 da seguinte maneira: (x,y) ? f -1 ↔ (y,x) ? f.

Exemplos 1

Dada a função f(x) = x² a sua inversa será:

Isolando x:
y = x²
√y = x

Invertendo x por y e y por x:
y =√x

Portanto, f –1(x) = √x

2.6 Funções impares e pares

Função par 
Será uma função par a relação onde o elemento simétrico do conjunto do domínio tiver a mesma imagem no conjunto de chegada. Ou seja, uma função será par se f(x) = f(-x). 

Função ímpar 
Será uma função ímpar a relação onde os elementos simétricos do conjunto do domínio terão imagens simétricas no conjunto...
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