funções exponenciais

Páginas: 7 (1545 palavras) Publicado: 10 de novembro de 2014
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Introdução:
A função exponencial é uma das mais importantes para a explicação e estudos de muitos
fenômenos naturais e também para o projeto de muitas máquinas, é ferramenta indispensável
para físicos, químicos, biólogos e também para engenheiros, que devem sabê-la muito bem para
aplicá-la em seus trabalhos tanto na pesquisas, caso dos físicos, químicos e biólogos, comotambém na engenharia, caso dos engenheiros.
Para exemplificar como a função exponencial está presente no dia-a-dia dos estudos dos
cientistas, vamos analisar um pequeno exemplo de árvore genealógica. Gustavo e Karina
formam um casal que em suas famílias as pessoas vivem muito tempo. Vamos calcular quantos
avós e bisavós têm em conjunto Gustavo e Karina. para iniciarmos contamos quantos ospais de
cada um e depois somamos, depois os avós e por último os bisavós. Assim temos:
pais → 2 + 2 = 4 = 22
avôs/avós → 4 + 4 = 8 = 23
bisavôs/bisavós → 8 + 8 = 16 = 24
Observamos assim que a cada passo o número de pessoas dobra. Se continuássemos
calculando o número de pessoas na quinta geração (trisavôs / trisavós), teríamos:
16 + 16 = 32 = 25
Notamos assim que para cada geração x que seescolha há um número f(x) de ascendentes em
função de x, e a lei que expressa f(x) em função de x é f(x) = 2x, que é um caso particular de
função exponencial.
Esse pequeno exemplo expressa o número de pais, avôs e avós, bisavôs e bisavós, etc... de
Gustavo e Karina. No estudo de muitos casos que envolva as gerações de populações animais,
por exemplo, os biólogos fazem uso da função exponencialpara estudar o comportamento de
tais populações, por exemplo o crescimento de uma cultura de peixes numa lagoa, a evolução
de uma população de bactérias em certo organismo, o estudo do Caos de uma população animal
é um excelente exemplo de estudo utilizando a função exponencial.
DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL:
Uma função exponencial qualquer função f de R em R dada pela lei da forma f(x) =ax, onde a é
um número real e, a > 0 e a ≠ 1. A é chamado de base da função.
GRÁFICO:
Os gráficos da função exponencial podem ser crescentes ou decrescentes, dependendo do valor
de a ou do sinal do expoente. Vejamos alguns casos:

a>1

a < 1, ou expoente negativo

PROPRIEDADES:
Vamos analisar algumas propriedades do gráfico da função exponencial f(x) = ax
1) se x = 0 → f(x) = 1, poisa0 = 1, todo número elevado a zero resulta em 1. Isso quer dizer que
o gráfico de qualquer função exponencial do tipo f(x) = ax corta o eixo das ordenadas no ponto
de ordenada igual a 1, par (01).
2) Se a > 1, então a função f(x) = ax é crescente.
3) Se 0 < a < 1, então a função f(x) = ax é decrescente. São decrescentes por exemplo as
funções exponenciais:
x

x

1
f (x ) =   ,
42
f (x ) =   ,
3

 3
f (x ) =  
5

x

4) Para todo a > 0 e todo x real, temos ax > 0; portanto, o gráfico da função f(x) = ax está sempre
acima do eixo das abscissas.
Se a > 1, então ax aproxima-se de zero quando x assume valores negativos cada vez menores.
Se 0 < a < 1, então ax aproxima-se de zero quando x assume calores positivos cada vez
maiores.
5) Se tivermos noexpoente o sinal de menos, f(x) = a-x, o gráfico da função será decrescente
também.
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS:
Equações exponenciais são as equações que apresentam a incógnita no expoente de pelo
menos uma potência. São exemplos de equações exponenciais:
x

1
2 = 16 ,   = 81 , 4 x − 2 x = 12
8
Um método muito utilizado para se resolver equações exponenciais consiste em reduzir ambosos membros da equação a potência de mesma base a (0< a ≠ 1), e depois aplicar a propriedade:
x

a x1 = a x2 ⇒ x1 = x 2
Quando isso é possível, a equação exponencial é facilmente resolvida.
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS:
Inequações exponenciais são as equações que apresentam a incógnita no expoente de pelo
menos uma potência. São exemplos de equações exponenciais:
x

1
2 > 16 ,   < 27 ,...
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