Função modular

Páginas: 6 (1288 palavras) Publicado: 20 de fevereiro de 2013
=8.10.

APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR - TÓPICO 8.10 FUNÇÃO MODULAR

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8.10.1. FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA SENTENÇA
EXEMPLO 1:

EXEMPLO 2:

APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR - TÓPICO 8.10 8.10.2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL Dado um número real x, chama-se módulo ou valor absoluto de x, e indica-se com | x | , o número real não negativo tal que:
 | x|  x , se x  0  ou  | x |   x , se x  0 

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 | 4 | 4  Exemplos:  | 0 |  0  |  7 | 7 

Observação:

x 2 | x | , assim, a informação

( 1) 2  1 É FALSA!

8.10.3. DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO MODULAR

Chama-se função modular a função de IR em IR dada pela lei f ( x ) | x | .

 x , se x  0 f ( x ) | x |  f ( x )     x , se x  0
8.10.4. GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR

APOSTILA 4 –MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR - TÓPICO 8.10 8.10.5. GRÁFICOS DE FUNÇÕES EM MÓDULO Exemplo 1: f ( x ) | x  1 |

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Exemplo 2: f ( x ) | x 2  4 |



APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR - TÓPICO 8.10 -

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Exemplo 3: h( x ) | x | 1

Obs.: Uma maneira prática para deslocarmos o gráfico do exemplo anterior é, na fig 1, deslocarmos o eixo das abscissas para cimauma unidade.

Exemplo 4: f ( x )  ( x  3 ) 2

APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR - TÓPICO 8.10 Exemplo 5: f ( x ) | x  1 |  | x  1 |

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1º passo: fazer f ( x )  g( x )  h( x ) ; 2º passo: analisar o comportamento algébrico de g(x) e de h(x) individualmente, ou seja:

 x  1, se x  1  x  1, se x  1 g( x )  | x  1 |   e h ( x ) | x  1 |     x  1, se x 1   x  1, se x  1
3º passo:

  2 x , se x  1  Assim, f ( x ) | x  1 |  | x  1 |   2, se  1  x  1  2 x , se x  1 

Exemplo 6: Construa o gráfico de f ( x )  2  | x |  | x  1 | e determine suas raízes.

Analogamente ao exemplo anterior, temos:

Do gráfico vemos que há duas raízes,  A primeira é  1 ;  A segunda está entre 0 e 1. De fato, se 1 3x 1 0  x  . 3

APOSTILA 4– MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR - TÓPICO 8.10 Exemplo 7: f ( x ) | | 2 x  3 |  2 |

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EXERCÍCIOS:
1) Construir o gráfico da função f ( x )  | x  1 | 2 . RESPOSTA:

2) Construir o gráfico da função f ( x ) | x 2  4 x | e determinar o seu domínio e conjunto imagem.

RESPOSTA:

3) Construir o gráfico dafunção f ( x ) | x 2  4 x  3 | 2 e determinar seu domínio e conjunto imagem.

RESPOSTA:

4) Determine o conjunto imagem da função f ( x ) | x  2 | definida no intervalo real [1, 3 ] .

RESPOSTA:

{ y  IR | 1  x  3 }

APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR - TÓPICO 8.10 8.11. EQUAÇÕES MODULARES NA VARIÁVEL x

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Basicamente existem quatro tipos de equações modulares:
TIPO1:
(exp ressão em x )  n º real

Exemplo: | x  1 |  2 .
 x 1 2  x  3  | x 1| 2   ou  x  1  2  x  1  S  {  1 ;3 }

TIPO 2:

(exp ressão em x )  k  ( outra exp ressão em x ) , onde k  IR.

Exemplo: | x  2 |  2 | x  2 | .
  x  2  2  ( x  2)  x  6  | x  2 |  2 | x  2 |   ou 2  x  2  2  (  x  2)  x  3  20 S{6; } 3

TIPO 3:

(exp ressão em x ) (outra expressão em x).

Atenção, observe que temos uma expressão em x no segundo membro da equação representando o resultado do módulo presente no primeiro membro; sabemos que o resultado de um módulo não pode ser negativo. Assim, para este tipo de equação modular, deveremos iniciar sua resolução impondo a condição de existência do módulo em questão, vejamos o exemplo abaixo: Exemplo: | 3 x  5 | 5 x  1.   Condição de existência do módulo: 5 x  1  0  x  Resolvendo a equação: 1 5

  3x  5  5x 1 x   2  | 3x  5 |5x 1   ou 3  3 x  5   5 x  1  x  4 



3  Verificando na condição de existência: S    4

APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR - TÓPICO 8.10 -

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TIPO 4: A equação apresenta

x

2

.

Exemplo: x

2

 2 x 8  0

Para...
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